Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 13
- Aufwärmaufgaben
Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung
gilt.
Es sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe und sei eine weitere Körpererweiterung. Es sei die Menge der - Algebrahomomorphismen von nach . Zeige, dass die Zuordnung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Betrachte die Menge der vierten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.
Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist.
Zeige, dass die quadratische Körpererweiterung keine Galoiserweiterung ist.
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei (zu ) die Gruppe der -ten Einheitswurzeln in . Zeige, dass es zu jedem einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
gibt.
Bei einer endlichen Körpererweiterung kann man jeden -Algebra-Automorphismus von
- also jedes Element der Galoisgruppe -
als eine bijektive -lineare Abbildung
auffassen und kann daher die Begriffe der linearen Algebra darauf anwenden. Damit hat man insbesondere den Begriff der Determinante zur Verfügung.
Es sei eine endliche Körpererweiterung mit Galoisgruppe . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Es sei eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe in einen Körper . Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein Körper und sei
ein Körperautomorphismus. Zeige, dass die Abbildung
ein Ringautomorphismus des Polynomrings ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine endliche kommutative Gruppe und sei eine - graduierte Körpererweiterung. Beweise für die Gleichheit
wobei den zugehörigen -Automorphismus von bezeichnet (siehe Lemma 9.11).
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die Menge der achten Einheitswurzeln in . Welche sind untereinander über konjugiert?
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung mit der zugehörigen Charaktergruppe mit Werten in einem Körper .
a) Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus
nur die Werte und annehmen kann.
b) Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Zeige, dass genau dann den Wert annimmt, wenn gerade ist.
<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011) | >> |
---|