Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren und für jede Nullstelle ${}\lambda$ stimmt die algebraische Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ mit der geometrischen Vielfachheit ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ überein.
3. Das Minimalpolynom ${}P$ zu ${}\varphi$ zerfällt in Linearfaktoren, die alle einfach sind.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Man sagt, dass die linearen Abbildungen

$\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\colon V\longrightarrow V$

simultan diagonalisierbar sind, wenn es eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ derart gibt, dass jedes ${}v_{i}$ für jedes ${}\varphi _{j}$ ein Eigenvektor ist.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung mit ${}\varphi ^{n}=\operatorname {Id} _{V}$ für ein ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}K$ eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält.

Dann ist ${}\varphi$ diagonalisierbar.

Beweis

Nach der Voraussetzung an ${}\varphi$ ist das Minimalpolynom von ${}\varphi$ ein Teiler von ${}X^{n}-1$. Nach der Voraussetzung an den Körper besitzt dieses Polynom ${}n$ verschiedene Nullstellen. Daher zerfällt das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren. Nach Satz Anhang 7.1 ist somit ${}\varphi$ diagonalisierbar.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es seien

$\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\colon V\longrightarrow V$

lineare Abbildungen, die alle diagonalisierbar seien.

Dann sind diese linearen Abbildungen genau dann simultan diagonaliserbar, wenn sie paarweise vertauschbar sind.

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