Endomorphismus/Diagonalisierbar/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist diagonalisierbar.
2. Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren und für jede Nullstelle ${}\lambda$ stimmt die algebraische Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ mit der geometrischen Vielfachheit ${}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$ überein.
3. Das Minimalpolynom ${}P$ zu ${}\varphi$ zerfällt in Linearfaktoren, die alle einfach sind.

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