Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper des Polynoms ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{r}\in K[X]$ Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ derart gibt, dass diese Polynome in ${}L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei ${}F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter ${}F$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.

Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von

$2X^{7}+X^{6}+2X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+2\in \mathbb {Z} /(3)[X].$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$. Bestimme die Menge der Polynome ${}F\in K[T]$ mit formaler Ableitung ${}F'=0$.

Die folgenden fünf Aufgaben waren schon mal Klausuraufgaben (es gibt dazu auch Lösungen).

Aufgabe *

Bestimme in der Einheitengruppe ${}\mathbb {Z} /(17)^{\times }$ zu jeder möglichen Ordnung ${}k$ ein Element ${}x\in \mathbb {Z} /(17)^{\times }$, das die Ordnung ${}k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe

$H\subseteq \mathbb {Z} /(17)^{\times }$

an, die aus vier Elementen besteht.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}x\in {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ eine Einheit. Es sei ${}a$ die Ordnung von ${}x$ in der additiven Gruppe ${}(\mathbb {Z} /(p),+,0)$ und es sei ${}b$ die Ordnung von ${}x$ in der multiplikativen Gruppe ${}({\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\cdot ,1)$. Zeige, dass ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind.

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${}2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in ${}\mathbb {F} _{q}$ ist.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${}\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{8}$ an.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}64,81,121,125$ und ${}128$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$- linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Element ${}a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms ${}P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}P$ das lineare Polynom ${}X-a$ mit einem Exponenten ${}\geq 2$ vorkommt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}F\in K[X]$ und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn ${}F'(a)=0$ ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.