Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche für jede Filtrierung von $S_3$ mit \definitionsverweis {Untergruppen}{}{,} ob eine \definitionsverweis {auflösende Filtrierung}{}{} vorliegt oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann
\definitionsverweis {kommutativ}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
\mathl{K(G)}{} trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige die Beziehung
\mathl{\varphi (K(G)) \subseteq K(H)}{.}
}
{} {}
Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.
Jede \definitionsverweis {Gruppe}{}{} lässt sich als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.
\inputaufgabe
{}
{
Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ nicht \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.
}
{} {}
Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen
\mathbed {A_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {,}
einfach sind
\zusatzklammer {das ist eine nichttriviale Aussage} {} {.}
Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen
\mathbed {S_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {,}
nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A_n$ eine
\definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{}
mit
\mathl{n \geq 4}{.} Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.
}
{} {}
Eine Gruppe $G$ heißt \definitionswort {perfekt}{,} wenn sie gleich ihrer eigenen
\definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
ist, also wenn
\mathl{G =K(G)}{} gilt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {perfekt}{}{} ist.
}
{} {}
Nach
Aufgabe 5.12
ist das Zentrum
\mathl{Z_1=Z=Z(G)}{} einer Gruppe $G$ ein Normalteiler in $G$. Folglich gibt es eine Restklassengruppe
\mathl{G/Z(G)}{,} die selbst wiederum ein Zentrum besitzt. Das Urbild dieser Gruppe in $G$ wird mit $Z_2$ bezeichnet; sie ist wieder ein Normalteiler in $G$, so dass man eine Filtration
\mathdisp {0 \subseteq Z_1 \subseteq Z_2 \subseteq Z_3 \subseteq \cdots} { }
von Normalteilern in $G$ erhält. Diese Filtration nennt man \stichwort {Zentralreihe} {.}
Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn ihre Zentralreihe bei $G$ endet, d.h. wenn $G$ mit einer iterierten Zentrumsgruppe $Z_n(G)$ übereinstimmt.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {nilpotente Gruppe}{}{} \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass für
\mathl{n \leq 4}{} die
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{}
$S_n$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine endliche Gruppe, für die jede Untergruppe ein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} sei. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,}
ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige: Keine der \definitionsverweis {alternierenden Gruppen}{}{} $A_n$ besitzt eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei.
}
{} {Hinweis:
Aufgabe 21.11
hilft.}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit
\definitionsverweis {Zentrum}{}{} $Z(G)$. Zeige:
\aufzaehlungdrei{$G$ ist genau dann
\definitionsverweis {abelsch}{}{,} wenn
\mathl{G/Z(G)}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist.
}{Der
\definitionsverweis {Index}{}{} von $Z(G)$ in $G$ ist keine Primzahl.
}{Ist $G$ von der Ordnung $pq$ für zwei Primzahlen $p$ und $q$, so ist $G$ abelsch oder $Z(G)$ trivial.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit mindestens $4$ Elementen. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_2(K)}{}
\definitionsverweis {perfekt}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Es gibt ein
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{x^2 - 1 \neq 0}{.}}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_2(K)}{} von
\mathdisp {\{ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, \vert \, b \in K\} \cup \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix} \, \vert \, c \in K\}} { }
erzeugt wird.
}
{} {}