Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass diese Erweiterung genau dann
\definitionsverweis {normal}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
gleich $L$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{F \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {normale Hülle}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ K[X]/(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich dem
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {auflösbare Körpererweiterung}{}{.}
Es sei
\mathl{K \subseteq K'}{} eine weitere Körpererweiterung und es sei
\mathl{L'=LK'}{} das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
von
\mathkor {} {L} {und} {K'} {}
\zusatzklammer {das in einem gewissen Oberkörper gebildet sei} {} {.}
Zeige, dass auch
\mathl{K' \subseteq L'}{} auflösbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{P,F \in K[X]}{} nichtkonstante Polynome. Wir setzen
\mathl{Q=P(F)}{}
\zusatzklammer {in $P$ wird also das Polynom $F$ eingesetzt} {} {.}
Zeige, dass man den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $P$ in den Zerfällungskörper von $Q$ einbetten kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {auflösbares Polynom}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{P(X^n)}{} auflösbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{P \in\Q[X]}{} ein Polynom vom Grad $3$. Zeige mit Mitteln der Galoistheorie, dass $P$ auflösbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{P \in \Q[X]}{} ein Polynom vom Grad $3$. Setze die Körpererweiterungen von $\Q$, die sich aus
der Cardanoschen Formel
ergeben, mit den Körpererweiterungen in Beziehung, die sich aus der Galoistheorie über
Satz 22.6
ergeben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen Körper $K$ und zerfallende Polynome
\mathl{F,G \in K[X]}{} derart, dass die Einsetzung
\mathl{F(G)}{} nicht zerfällt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $n$ eine ungerade Zahl. Man gebe eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{\Q \subseteq L}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ derart, dass
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )}{} trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {K \subseteq L} {und} {L \subseteq M} {}
\definitionsverweis {auflösbare Körpererweiterungen}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{K \subseteq M}{} auflösbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien \mathkor {} {F} {und} {G} {} \definitionsverweis {auflösbare Polynome}{}{} über einem Körper $K$. Zeige, dass das Produkt $FG$ ebenfalls auflösbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (5+3)}
{
Es sei
\mathl{E \subseteq \R^2}{} ein reguläres $n$-Eck
\zusatzklammer {\mathlk{n \geq 3}{}} {} {} mit den Eckpunkten
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{,} und es sei $V$ der von diesen Eckpunkten
\definitionsverweis {erzeugte}{}{}
$\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
a) Zeige die Abschätzungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(n)
}
{ \leq} { \dim_{ \Q } { \left( V \right) }
}
{ \leq} {\varphi(n) + 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\zusatzklammer {Dabei bezeichnet $\varphi(n)$ die
\definitionsverweis {eulersche $\varphi$-Funktion}{}{}} {} {.}
b) Zeige, dass in (a) sowohl links als auch rechts Gleichheit gelten kann.
}
{} {}