Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne in
\mathl{\Q(X,Y)}{}
\mathdisp {{ \frac{ 7X^2-XY^3+Y^4 }{ 5X- { \frac{ 1 }{ 3 } } Y^4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ X^2 Y^3 } } + { \frac{ 3X^3+X^2Y^2-XY^2 }{ 2+4 X^3-X^{257} } } \cdot { \frac{ 1 }{ X^2 Y^3 } } - { \frac{ 1 }{ 7 } } X^3+XY+Y^{6}+9} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ \subseteq} {L(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
algebraisch ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass $K$ in einer
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} { K(X_1 , \ldots , X_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem
\definitionsverweis {algebraischen Abschluss}{}{}
in
\mathl{K(X_1 , \ldots , X_n)}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R(X_1 , \ldots , X_n) [ { \mathrm i} ]
}
{ =} { {\mathbb C} (X_1 , \ldots , X_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine Unterfamilie einer \definitionsverweis {algebraisch unabhängigen}{}{} Familie wieder algebraisch unabhängig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{e_1 , \ldots , e_n}{} positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie
\mathl{X_1^{e_1} , \ldots , X_n^{e_n}}{} im Polynomring
\mathl{K[X , \ldots , X_n ]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Familie
\mathl{X+Y,XY}{} im Polynomring
\mathl{K[X,Y]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\maabb {\varphi} {A} {B
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente derart, dass
\mathl{\varphi { \left( f_1 \right) } , \ldots , \varphi { \left( f_n \right) }}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
über $R$ sind. Zeige, dass die
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} algebraisch unabhängig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Elemente
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} sind
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X_1 , \ldots , X_n]} { A
} {X_i} { f_i
} {,}
ist
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
}{Der
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X_1 , \ldots , X_n]} { R[f_1 , \ldots , f_n ]
} {X_i} { f_i
} {,}
ist
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_r
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
über $K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_1 , \ldots , g_s
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
algebraisch unabhängig über $L$. Zeige, dass die Familie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_r,g_1 , \ldots , g_s
}
{ \in} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
algebraisch unabhängig über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\mathl{n+1}{} Polynome
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n+1} \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gegeben. Zeige, dass diese
\definitionsverweis {algebraisch abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} Elemente eines
\definitionsverweis {Körpers}{}{}
$K$ und seien
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n-1}}{}
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{.}
Zeige, dass die Familie
\mathl{f_1 , \ldots , f_n}{} genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn $f_n$
\definitionsverweis {transzendent}{}{}
über
\mathl{K(f_1 , \ldots , f_{n-1})}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} (X)
}
{ \subseteq} { {\mathbb C} (X) [Y]/ { \left( X^2+Y^2-1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {rein transzendent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Besitzt die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_1 , \ldots , z_n
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Familie von
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{.}
Zeige, dass es daraus eine
\definitionsverweis {algebraisch unabhängige}{}{}
Teilfamilie gibt.
}
{} {}
Es ist übrigens unbekannt, ob die beiden transzendenten Zahlen \mathkor {} {e} {und} {\pi} {} algebraisch unabhängig über $\Q$ sind.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von $L$ über $K$ keine Transzendenzbasis ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {algebraische Körpererweiterung}{}{.}
Es sei
\mathl{f_1 , \ldots , f_n \in L}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
von $L$ über $K$. Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von $M$ über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_1 , \ldots , f_n
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n ]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome, die für den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{K (X_1 , \ldots , X_n )}{} eine
\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{}
über $K$ bilden. Es sei $f_n$ ein
\definitionsverweis {Primpolynom}{}{.}
Zeige, dass die Restklassen der
\mathl{f_1 , \ldots , f_{n-1}}{} im Quotientenkörper
\mathl{Q(K[X_1 , \ldots , X_n]/(f_n) )}{} eine Transzendenzbasis bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{} des von den beiden \definitionsverweis {trigonometrischen Funktionen}{}{} Sinus und Kosinus über $\R$ erzeugten Körpers.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept \definitionsverweis {lineare Unabhängigkeit}{}{} \zusatzklammer {\definitionsverweis {Basis}{}{,} \definitionsverweis {Dimension}{}{}} {} {} und dem Konzept \definitionsverweis {algebraische Unabhängigkeit}{}{} \zusatzklammer {\definitionsverweis {Transzendenzbasis}{}{,} \definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
in $n$ Variablen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Untergruppe der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
des
\definitionsverweis {Fixkörpers}{}{}
\mathl{L^G}{} über $K$ gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$ der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Die Gruppe $K^{\times}$ ist eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{,} indem man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als den durch
\mathl{X \mapsto sX,\, Y \mapsto sY}{} festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
$K(X,Y)^{ K^{\times} }$ sowie dessen
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
über $K$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den Funktionenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über einem Körper $K$. Wie betrachten auf der Menge
\mathl{\mathcal Z}{} aller Zwischenkörper die Relation, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_1
}
{ \sim} { M_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es einen Zwischenkörper $M$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_1
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_2
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
sind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
handelt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die rationalen Funktionen
\zusatzklammer {in den zwei Variablen
\mathkor {} {U} {und} {V} {}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ -U^{15} }{ (1+V)^7V^3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { { \frac{ -U^{10} }{ (1+V)^5 V^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \frac{ -U^{6} }{ (1+V)^3 V } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Relation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P^2 +Q^3 + R^5
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L,M
}
{ \subseteq }{K(X, Y )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die den gleichen
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
haben, die aber nicht zueinander
\definitionsverweis {äquivalent}{}{}
im Sinne von
Aufgabe 28.23
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z^3 -X^3-Y^3
}
{ \in }{ {\mathbb C}(X,Y)[Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}(X,Y)
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}(X,Y)[Z]/ { \left( Z^3 -X^3-Y^3 \right) }
}
{ \defeqr} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom Grad $3$. Es sei $\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \{1, \zeta,\zeta^2\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass durch
\mathdisp {X \mapsto X, \, Y \mapsto Y, \, Z \mapsto \zeta Z} { }
ein
\mathl{{\mathbb C}(X,Y)}{-}Automorphismus auf $L$ gegeben ist.
}{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}(X,Y)
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung ist.
}{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}(X,Y)
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine graduierte Körpererweiterung ist.
}{Zeige, dass durch
\mathdisp {X \mapsto \zeta X, \, Y \mapsto \zeta Y, \, Z \mapsto \zeta^2 Z} { }
ein
\mathl{{\mathbb C}}{-}Automorphismus auf $L$ der Ordnung $3$ gegeben ist.
}{Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Betrachte auf dem
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
${\mathbb C} (X)$ die Gruppe der
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{,}
die durch
\mathl{X \mapsto \zeta_n X}{} erzeugt wird, wobei $\zeta_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
${\mathbb C}(X)^{ \Z/(n) }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Familie
\mathl{X+Y+Z,XY+XZ+YZ,XYZ}{} im Polynomring
\mathl{K[X,Y,Z]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+2+4)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
in $n$ Variablen. Wir knüpfen an
Beispiel 10.12
an.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass es einen natürlichen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
} {}
}{Zeige, dass dieser nicht
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}{Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper $K$ die
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ habe. Zeige für den
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L^{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } }
}
{ =} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
über einem Körper $K$. Wie betrachten auf der Menge
\mathl{\mathcal Z}{} aller Zwischenkörper die
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
aus
Aufgabe 28.23.
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Transzendenzgrad}{}{}
auf den
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
wohldefiniert ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{K(X_1 , \ldots , X_n )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationale Funktionenkörper}{}{}
über einem Körper $K$. Es seien Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} {M_1,M_2
}
{ \subseteq} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gegeben, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_1 \cap M_2
}
{ \subseteq} { M_1 , M_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{}
seien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper $N$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_1,M_2
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
endlich sind.
}
{} {}