Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{} und
\maabb {\varphi} {G} {H
} {} sei ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\varphi (e_G)= e_H}{} und
\mathl{(\varphi(g))^{-1} = \varphi (g^{-1})}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G } {h} {\varphi^{-1}(h) } {,} ein Gruppenisomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass das Potenzieren
\maabbeledisp {} {G} {G
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der komplexen Zahlen ohne null,
\mathl{{\mathbb C}^\times = ({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{.} Bestimme für jedes
\mathl{n \in \N}{} den
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des Potenzierens
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}^\times} { {\mathbb C}^\times} {z} {z^n
} {.}
Sind diese
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver }{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass durch
\mathl{U \mapsto \varphi(U)}{} und
\mathl{V \mapsto \varphi^{-1}(V)}{} eine Bijektion zwischen den
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von $H$ und denjenigen Untergruppen von $G$, die
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} umfassen, gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzt, und dass die Potenzen
\mathdisp {g^0=e_G,\, g^1=g,\, g^2 , \ldots , g^{ \operatorname{ord} \, (g)-1}} { }
alle verschieden sind.
}
{} {}
Wichtige Beispiele für im Allgemeinen nicht kommutative Gruppen werden durch die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ K } \! { \left( V \right) }}{} gegeben, also die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
\maabbeledisp {} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {(K \setminus \{0\},\cdot, 1)
} {M} { \det M
} {,}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N}{} eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \R \right) }}{} an, derart, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $M$ gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine Matrix
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }}{} der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$4$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {endliche Ordnung}{}{}
besitzt, wenn das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $\varphi$ ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{} für ein $n \in \N_+$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\definitionsverweis {positiver Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
die
\definitionsverweis {endliche Ordnung}{}{}
$p$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass $M$ endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
zu den folgenden
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
von
\definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{.}
\aufzaehlungsechs{
\mathl{(\Z,0,+) \subseteq (\R,0,+)}{.}
}{
\mathl{(\Q,0,+) \subseteq (\R,0,+)}{.}
}{
\mathl{(\R,0,+) \subseteq ({\mathbb C},0,+)}{.}
}{
\mathl{(\Z n,0,+) \subseteq (\Z,0,+)}{}
\zusatzklammer {$n \in \N$} {} {.}
}{
\mathl{({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot) \subseteq ({\mathbb C} \setminus \{0\} ,1, \cdot)}{.}
}{
\mathl{({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid z^n = 1 \right\} }, 1, \cdot) \subseteq ({ \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }, 1, \cdot)}{} \zusatzklammer {$n \in \N$} {} {.}
}
Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der
\definitionsverweis {Index}{}{}
endlich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Stifte einen
\definitionsverweis {surjektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von der
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
der komplexen Zahlen ohne null
\mathl{({\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot,1)}{} in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,\cdot,1 )}{.}
}
{Was ist der Kern dieser Abbildung?} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Stifte einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen
\mathl{(\R,0,+)}{} und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen
\mathl{(\R_+,1,\cdot )}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }
} {\pi} { M_\pi
} {,}
die einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ihre
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
$M_\pi$ zuordnet, ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 &2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von
\mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {}
definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe für jedes
\mathl{n \in \N}{} eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ k } \! { \left( \Q \right) }}{} an
\zusatzklammer {dabei sei $k$ geeignet gewählt} {} {,}
derart, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
von $M$ gleich $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
in der jedes Element die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement $g$ gilt
\mathl{g^2 = e}{.} Zeige, dass die Gruppe $G$ dann
\definitionsverweis {abelsch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Man gebe eine Matrix
\mathl{M \in \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }}{} der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$3$ an.
}
{} {}