Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 4

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus. Zeige, dass auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus ist.

Aufgabe

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}H$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Betrachte die Gruppe der komplexen Zahlen ohne null, ${}{\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$. Bestimme für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ den Kern des Potenzierens

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto z^{n}.$

Sind diese Gruppenhomomorphismen surjektiv?

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass durch ${}U\mapsto \varphi (U)$ und ${}V\mapsto \varphi ^{-1}(V)$ eine Bijektion zwischen den Untergruppen von ${}H$ und denjenigen Untergruppen von ${}G$, die ${}\operatorname {kern} \varphi$ umfassen, gegeben ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${}g\in G$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

$g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}$

alle verschieden sind.

Wichtige Beispiele für im Allgemeinen nicht kommutative Gruppen werden durch die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{K}\!{\left(V\right)}$ gegeben, also die Menge der invertierbaren linearen Abbildungen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M,$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ eine invertierbare Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ an, derart, dass die Ordnung von ${}M$ gleich ${}n$ ist.

Aufgabe *

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}4$ an.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann endliche Ordnung besitzt, wenn das Minimalpolynom von ${}\varphi$ ein Teiler von ${}X^{n}-1$ für ein ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit positiver Charakteristik ${}p>0$. Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$

die endliche Ordnung ${}p$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und ${}M$ eine invertierbare ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass ${}M$ endliche Ordnung besitzt.

Aufgabe

Bestimme die Nebenklassen zu den folgenden Untergruppen von kommutativen Gruppen.

1. ${}(\mathbb {Z} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
2. ${}(\mathbb {Q} ,0,+)\subseteq (\mathbb {R} ,0,+)$.
3. ${}(\mathbb {R} ,0,+)\subseteq ({\mathbb {C} },0,+)$.
4. ${}(\mathbb {Z} n,0,+)\subseteq (\mathbb {Z} ,0,+)$ (${}n\in \mathbb {N}$).
5. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\mathbb {C} }\setminus \{0\},1,\cdot )$.
6. ${}({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid z^{n}=1\right\}},1,\cdot )\subseteq ({\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}},1,\cdot )$ (${}n\in \mathbb {N}$).

Wann bestehen die Nebenklassen aus endlich vielen Elementen, wann ist der Index endlich?

Aufgabe *

Stifte einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der komplexen Zahlen ohne null ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)$ in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},\cdot ,1)$.

Was ist der Kern dieser Abbildung?

Aufgabe *

Stifte einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} ,0,+)$ und der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$.

Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ und ${}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$

die einer Permutation ${}\pi$ auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ ihre Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ zuordnet, ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$. Die zugehörige Permutationsmatrix ${}M_{\pi }$ ist dadurch gegeben, dass

${}a_{\pi (i),i}=1\,$

ist und alle anderen Einträge ${}0$ sind. Zeige, dass

${}\det M_{\pi }=\operatorname {sgn} (\pi )\,$

ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die Matrix

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ und die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(n)$ isomorph sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ eine invertierbare Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{k}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ an (dabei sei ${}k$ geeignet gewählt), derart, dass die Ordnung von ${}M$ gleich ${}n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe, in der jedes Element die Ordnung zwei hat, d.h. für jedes Gruppenelement ${}g$ gilt ${}g^{2}=e$. Zeige, dass die Gruppe ${}G$ dann abelsch ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}3$ an.