Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 5

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Menge der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen über einem Körper ${}K$. Zeige, dass für zueinander konjugierte Matrizen ${}M$ und ${}N$ aus ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die folgenden Eigenschaften bzw. Invarianten übereinstimmen: Die Determinante, die Eigenwerte, die Dimension der Eigenräume zu einem Eigenwert, die Diagonalisierbarkeit, die Trigonalisierbarkeit.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}R$ auf ${}G$, wobei ${}xRy$ bedeutet, dass es einen inneren Automorphismus ${}\kappa _{g}$ mit ${}x=\kappa _{g}(y)$ gibt. Zeige, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Die Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation bekommen einen eigenen Namen:

Zu einer Gruppe ${}G$ nennt man die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente als äquivalent (oder konjugiert) gelten, wenn sie durch einen inneren Automorphismus ineinander überführt werden können, die Konjugationsklassen.

Aufgabe

1. Bestimme die Konjugationsklassen auf der Drehgruppe ${}\operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
2. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von ${}\operatorname {O} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
3. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.
4. Bestimme die Konjugationsklassen der Elemente ${}\varphi \in \operatorname {SO} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ innerhalb von ${}\operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$.

Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$

der jeder Permutation ${}\pi$ die zugehörige Permutationsmatrix zuordnet. Zeige, dass zwei Permutationen ${}\pi ,\rho$ genau dann konjugiert in ${}S_{n}$ sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen ${}M_{\pi },M_{\rho }$ ähnlich sind.

Aufgabe *

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Durchschnitt von Normalteilern ${}N_{i}$, ${}i\in I$, in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Ist das Bild von ${}\varphi$ ein Normalteiler in ${}H$?

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ heißt die Untergruppe

${}A_{n}:={\left\{\sigma \in S_{n}\mid \operatorname {sgn} (\sigma )=1\right\}}\,$

der geraden Permutationen die alternierende Gruppe.

Aufgabe

Bestimme, ob die alternierende Gruppe ${}A_{n}$ ein Normalteiler in der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die allgemeine lineare Gruppe der invertierbaren Matrizen und

${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\,$

die Untergruppe der Matrizen mit Determinante ${}1$. Zeige, dass die Linksnebenklasse (und auch die Rechtsnebenklasse) zu ${}M\in \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ gleich der Menge aller Matrizen ist, deren Determinante mit ${}\det M$ übereinstimmt.

Zeige auf möglichst viele Weisen, dass ${}\operatorname {SL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ein Normalteiler in ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel von drei Untergruppen ${}F\subseteq G\subseteq H$ an derart, dass ${}F$ ein Normalteiler in ${}G$ und ${}G$ ein Normalteiler in ${}H$, aber ${}F$ kein Normalteiler in ${}H$ ist.

In der folgenden Aufgabe wird das Zentrum einer Gruppe verwendet.

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Das Zentrum ${}Z=Z(G)$ von ${}G$ ist die Teilmenge

${}Z={\left\{g\in G\mid gx=xg{\text{ für alle }}x\in G\right\}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}H\subseteq Z$ eine Untergruppe des Zentrums von ${}G$. Zeige, dass ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass das Zentrum ${}Z\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist. Man bringe das Zentrum in Zusammenhang mit dem Gruppenhomomorphismus

$\kappa \colon G\longrightarrow \operatorname {Aut} \,(G),\,g\longmapsto \kappa _{g}.$

Was ist das Bild von diesem Homomorphismus, und was besagen die Homomorphiesätze in dieser Situation?

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und sei ${}M$ eine Menge mit einer Verknüpfung. Es sei

$\varphi \colon G\longrightarrow M$

eine surjektive Abbildung mit ${}\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)$ für alle ${}g,h\in G$. Zeige, dass ${}M$ eine Gruppe und ${}\varphi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen mit der Produktgruppe ${}G\times H$. Zeige, dass die Gruppe ${}G\times \{e_{H}\}$ ein Normalteiler in ${}G\times H$ ist, und dass die Restklassengruppe ${}(G\times H)/G\times \{e_{H}\}$ kanonisch isomorph zu ${}H$ ist.

Aufgabe

Es seien ${}G_{1}$ und ${}G_{2}$ Gruppen und seien ${}N_{1}\subseteq G_{1}$ und ${}N_{2}\subseteq G_{2}$ Normalteiler. Zeige, dass ${}N_{1}\times N_{2}$ ein Normalteiler in ${}G_{1}\times G_{2}$ ist und dass eine Isomorphie

${}(G_{1}\times G_{2})/(N_{1}\times N_{2})\cong (G_{1}/N_{1})\times (G_{2}/N_{2})\,$

vorliegt.

Aufgabe

Zeige, dass für jede reelle Zahl ${}a\neq 0$ die Restklassengruppen ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z} a$ untereinander isomorph sind.

Aufgabe

Bestimme die Restklassengruppe zu ${}\{1,-1\}\subset \mathbb {R} ^{\times }$.

Aufgabe *

Zeige, dass es in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ Elemente gibt, deren Ordnung gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es keine Untergruppe ${}F\subseteq (\mathbb {Q} ,0,+)$ derart gibt, dass

$F\longrightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit dem (nach Lemma 4.4) zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n}.$

Beschreibe die kanonische Faktorisierung von ${}\varphi$ gemäß Satz 5.12.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe der Homomorphiesätze, dass zyklische Gruppen mit der gleichen Ordnung isomorph sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}S_{3}$ die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Menge ${}\{1,2,3\}$ in sich selbst. Bestimme die Konjugationsklassen dieser Gruppe.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}\mathbb {Z} /(p)$ die zyklische Gruppe mit ${}p$ Elementen. Finde eine Gruppe ${}G$ derart, dass ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq G$ eine Untergruppe ist und dass in ${}G$ je zwei von ${}0$ verschiedene Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ zueinander konjugiert sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Konjugationsklassen der (eigentlichen) Würfelgruppe.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq G$ ein Normalteiler in ${}H$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass jede Untergruppe vom Index zwei in einer Gruppe ${}G$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.