Permutationsmatrix/Ähnlichkeit/K/C/Aufgabe

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Unterkörper. Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus

$S_{n}\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)},\,\pi \longmapsto M_{\pi },$

der jeder Permutation ${}\pi$ die zugehörige Permutationsmatrix zuordnet. Zeige, dass zwei Permutationen ${}\pi ,\rho$ genau dann konjugiert in ${}S_{n}$ sind, wenn ihre zugehörigen Permutationsmatrizen ${}M_{\pi },M_{\rho }$ ähnlich sind.

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