Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 1



Übungsaufgaben

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring :

  1. Für jedes Element gilt und .
  2. Für jedes Element gilt .
  3. Gilt und , so gilt auch .
  4. Gilt und , so gilt auch .
  5. Gilt , so gilt auch für jedes .
  6. Gilt und , so gilt auch für beliebige Elemente .



Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.



Zeige, dass in einem kommutativen Ring folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

  1. ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
  2. Jede Einheit teilt jedes Element.
  3. Sind und assoziiert, so gilt genau dann, wenn .
  4. Teilt eine Einheit, so ist selbst eine Einheit.




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