Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 1

Kommutative Ringe

Definition

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
2. ${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
3. Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$.

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Das erste Beispiel ist der (kommutative) Ring der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$. Wir verwenden wie üblich die Konvention, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition und schreiben in der Regel ${}ab$ anstatt ${}a\cdot b$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}a,b,c$ Elemente aus ${}R$.

Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}0a=0\,$

   (Annullationsregel),

2. ${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

3. ${}(-a)(-b)=ab\,$

   (Vorzeichenregel),

4. ${}a(b-c)=ab-ac\,.$

Beweis

1. Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$. Durch beidseitiges Abziehen (also Addition mit $-a0$) von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.

2. ${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

   nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$.

3. Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ folgt die Behauptung.
4. Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.

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Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}a,b\in R$. Ferner sei ${}n$ eine natürliche Zahl.

Dann gilt

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}.$

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}n$. Für ${}n=0$ steht einerseits ${}(a+b)^{0}=1$ und andererseits ${}a^{0}b^{0}=1$. Es sei die Aussage bereits für ${}n$ bewiesen. Dann ist

${}{\begin{aligned}(a+b)^{n+1}&=(a+b)(a+b)^{n}\\&=(a+b){\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)}\\&=a\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)+b\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}\left({\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right)a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}a^{k}b^{n+1-k}.\end{aligned}}$

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Teilbarkeitsbegriffe

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, und ${}a,b$ Elemente in ${}R$. Man sagt, dass ${}a$ das Element ${}b$ teilt (oder dass ${}b$ von ${}a$ geteilt wird, oder dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}a$ ist), wenn es ein ${}c\in R$ derart gibt, dass ${}b=c\cdot a$ ist. Man schreibt dafür auch ${}a{|}b$.

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}1\,{|}\,a$ und ${}a\,{|}\,a$.
2. Für jedes Element ${}a$ gilt ${}a\,{|}\,0$.
3. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}b\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,c$.
4. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}c\,{|}\,d$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bd$.
5. Gilt ${}a\,{|}\,b$, so gilt auch ${}ac\,{|}\,bc$ für jedes ${}c\in R$.
6. Gilt ${}a\,{|}\,b$ und ${}a\,{|}\,c$, so gilt auch ${}a\,{|}\,rb+sc$ für beliebige Elemente ${}r,s\in R$.

Beweis

Siehe Aufgabe 1.1.

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Definition

Ein Element ${}u$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Einheit, wenn es ein Element ${}v\in R$ mit ${}uv=1$ gibt.

Bemerkung  

Eine Einheit ist also ein Element, das die ${}1$ teilt. Das Element ${}v$ mit der Eigenschaft ${}uv=1$ ist dabei eindeutig bestimmt. Hat nämlich auch ${}w$ die Eigenschaft ${}uw=1$, so ist

${}v=v1=v(uw)=(vu)w=1w=w\,.$

Das im Falle der Existenz eindeutig bestimmte ${}v$ mit ${}uv=1$ nennt man das (multiplikativ) Inverse zu ${}u$ und bezeichnet es mit ${}u^{-1}$. Die Menge aller Einheiten in einem kommutativen Ring bilden eine kommutative Gruppe (bezüglich der Multiplikation mit ${}1$ als neutralem Element), die man die Einheitengruppe von ${}R$ nennt. Sie wird mit ${}R^{\times }$ bezeichnet.

In den Ringen, die uns bisher begegnet sind, sind die Einheitengruppen einfach zu bestimmen. Es ist ${}\mathbb {Z} ^{\times }=\{1,-1\}$ und ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{\times }=\{1,3\}$. Im Ring der Gaußschen Zahlen gibt es vier Einheiten: ${}1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$, siehe die nächste Vorlesung.

Definition

Zwei Elemente ${}a$ und ${}b$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißen assoziiert, wenn es eine Einheit ${}u\in R$ derart gibt, dass ${}a=ub$ ist.

Bemerkung  

Die Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Siehe Aufgabe 1.2.

Das folgende Lemma besagt, dass es für die Teilbarkeitsrelation nicht auf Einheiten und Assoziiertheit ankommt.

Lemma

In einem kommutativen Ring ${}R$ gelten folgende Teilbarkeitsbeziehungen.

1. ${}-1$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${}a$ und ${}b$ assoziiert, so gilt ${}a|c$ genau dann, wenn ${}b|c$.
4. Teilt ${}a$ eine Einheit, so ist ${}a$ selbst eine Einheit.

Beweis

Siehe Aufgabe 1.3.

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Für Teilbarkeitsuntersuchungen sind die beiden folgenden Begriffe fundamental. Unter bestimmten Voraussetzungen, etwa wenn ein Hauptidealbereich vorliegt, sind sie äquivalent.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p$ in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel (oder unzerlegbar), wenn eine Faktorisierung ${}p=ab$ nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.

Definition

Eine Nichteinheit ${}p\neq 0$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt prim (oder ein Primelement), wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt ${}p$ einen der Faktoren.

Eine Einheit ist also nach Definition nie ein Primelement. Dies ist eine Verallgemeinerung des Standpunktes, dass ${}1$ keine Primzahl ist. Dabei ist die ${}1$ nicht deshalb keine Primzahl, weil sie „zu schlecht“ ist, sondern weil sie „zu gut“ ist.

Integritätsbereiche

Vor dem nächsten Lemma erinnern wir an den Begriff des Integritätsbereiches. Häufig wird die Teilbarkeitstheorie nur für Integritätsbereiche entwickelt.

Definition

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von ${}0$ verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.

Ein Nullteiler ist ein Element ${}x$ mit der Eigenschaft, dass es ein von ${}0$ verschiedenes Element ${}y$ mit ${}xy=0$ gibt. Die Null ist in einem vom Nullring verschieden Ring stets ein Nullteiler. Nullteilerfrei bedeutet, dass die ${}0$ der einzige Nullteiler ist bzw. dass alle von ${}0$ verschiedenen Elemente keine Nullteiler oder Nichtnullteiler sind. Nullteilerfrei kann man auch so formulieren, dass aus einer Gleichung ${}xy=0$ folgt, dass ${}x=0$ oder ${}y=0$ ist.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

In einem Körper sind also alle von ${}0$ verschiedenen Elemente Einheiten (und insbesondere Nichtnullteiler). Körper sind also insbesondere Integritätsbereiche. In einem Körper ist die Teilbarkeitsbeziehung uninteressant, da jedes von ${}0$ verschiedene Element jedes andere Element teilt.

Lemma

In einem Integritätsbereich ist ein Primelement stets irreduzibel.

Beweis

Angenommen, wir haben eine Zerlegung ${}p=ab$. Wegen der Primeigenschaft teilt ${}p$ einen Faktor, sagen wir ${}a=ps$. Dann ist ${}p=psb$ bzw. ${}p(1-sb)=0$. Da ${}p$ kein Nullteiler ist, folgt ${}1=sb$, sodass also ${}b$ eine Einheit ist.

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Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${}a$ und ${}b$ beide von ${}0$ verschieden sind. Dann gibt es dazu inverse Elemente ${}a^{-1}$ und ${}b^{-1}$ und daher ist ${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=1$. Andererseits ist aber nach Voraussetzung ${}ab=0$ und daher ist nach Lemma 1.3  (1)

${}(ab){\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0{\left(b^{-1}a^{-1}\right)}=0\,,$

 sodass sich der Widerspruch

${}0=1$ ergibt.

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