Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 7

Euklidische Bereiche

Ringe, in denen man eine Division mit Rest sinnvoll durchführen kann, bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Ein euklidischer Bereich (oder euklidischer Ring) ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta \colon R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:

Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

$a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$

Die in der Definition auftauchende Abbildung ${}\delta$ nennt man auch euklidische Funktion. Die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ bilden also einen euklidischen Ring mit dem Betrag als euklidischer Funktion.

Beispiel

Für einen Körper ${}K$ ist der Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen ein euklidischer Bereich, wobei die euklidische Funktion ${}\delta$ durch die Gradfunktion gegeben ist. Viele Parallelen zwischen dem Polynomring ${}K[X]$ und ${}\mathbb {Z}$ beruhen auf dieser Eigenschaft. Die Gradfunktion hat die Eigenschaft

${}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)\,.$

Beispiel

Gaußsche Zahlen als Gitterpunkte in der komplexen Zahlenebene

Eine Gaußsche Zahl ${}z$ ist durch ${}z=a+b{\mathrm {i} }$ gegeben, wobei ${}a$ und ${}b$ ganze Zahlen sind. Die Menge dieser Zahlen wird mit ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Die Gaußschen Zahlen sind die Gitterpunkte, d.h. die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten, in der komplexen Ebene. Sie bilden mit komponentenweiser Addition und mit der induzierten komplexen Multiplikation einen kommutativen Ring.

Eine euklidische Funktion ist durch die Norm ${}N$ gegeben, die durch ${}N(a+b{\mathrm {i} }):=a^{2}+b^{2}$ definiert ist. Man kann auch ${}N(z)=z\cdot {\overline {z}}$ schreiben, wobei ${}{\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Die Norm ist das Quadrat des komplexen Absolutbetrages und wie dieser multiplikativ, also ${}N(zw)=N(z)N(w)$.

Mit der Norm lassen sich auch leicht die Einheiten von ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ bestimmen: ist ${}wz=1$, so ist auch ${}N(zw)=N(z)N(w)=1$, also ${}N(z)=1$. Damit sind genau die Elemente ${}\{1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ diejenigen Gaußschen Zahlen, die Einheiten sind.

Lemma

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich.

Beweis

Es seien ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, ${}z\neq 0$. Wir betrachten den Quotienten

${}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.$

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$. Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$. Damit ist

${}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,$

mit ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$. Ferner ist

${}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

${}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.$

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$, da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

$N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.$

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