Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 8

Produktringe

Um die Restklassenringe von ${}\mathbb {Z}$ besser verstehen zu können, insbesondere dann, wenn man ${}n$ als Produkt von kleineren Zahlen schreiben kann - z.B., wenn die Primfaktorzerlegung bekannt ist -, braucht man den Begriff des Produktringes.

Definition

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Eng verwandt mit dem Begriff des Produktringes ist das Konzept der idempotenten Elemente.

Definition

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn ${}e^{2}=e$ gilt.

Die Elemente ${}0$ und ${}1$ sind trivialerweise idempotent, man nennt sie die trivialen idempotenten Elemente. In einem Produktring sind auch diejenigen Elemente, die in allen Komponenten nur den Wert ${}0$ oder ${}1$ besitzen, idempotent, also beispielsweise ${}(1,0)$. In einem Integritätsbereich gibt es nur die beiden trivialen idempotenten Elemente: Ein idempotentes Element ${}e$ besitzt die Eigenschaft

${}e(1-e)=e-e^{2}=e-e=0\,.$

Im nullteilerfreien Fall folgt daraus ${}e=1$ oder ${}e=0$.

Lemma

Es sei ${}R=R_{1}\times \cdots \times R_{n}$ ein Produkt aus kommutativen Ringen.

Dann gilt für die Einheitengruppe von ${}R$ die Beziehung

${}R^{\times }=R_{1}^{\times }\times \cdots \times R_{n}^{\times }\,.$

Beweis

Dies ist klar, da ein Element genau dann eine Einheit ist, wenn es in jeder Komponente eine Einheit ist.

$\Box$

Restklassenringe von Hauptidealbereichen

Für die Restklassenringe von Hauptidealbereichen gilt der chinesische Restsatz (für beliebige faktorielle Bereiche gilt er nicht, da das Lemma von Bezout dafür im Allgemeinen nicht gilt).

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, ein Element mit kanonischer Primfaktorzerlegung

${}f=p_{1}^{r_{1}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}\,.$

Dann gilt für den Restklassenring ${}R/(f)$ die kanonische Isomorphie

${}R/(f)\cong R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}})\,.$

Beweis

Wegen ${}p_{i}^{r_{i}}{|}f$ gelten die Idealinklusionen ${}(f)\subseteq (p_{i}^{r_{i}})$ und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen

$R/(f)\longrightarrow R/(p_{i}^{r_{i}}).$

Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich

$R/(f)\longrightarrow R/(p_{1}^{r_{1}})\times \cdots \times R/(p_{k}^{r_{k}}),\,a\longmapsto (a\mod p_{1}^{r_{1}},\ldots ,a\mod p_{k}^{r_{k}}).$

Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei ${}a\in R$ derart, dass es in jeder Komponente auf ${}0$ abgebildet wird. Das bedeutet ${}a\in (p_{i}^{r_{i}})$ für alle ${}i$. D.h. ${}a$ ist ein Vielfaches dieser ${}p_{i}^{r_{i}}$ und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ${}a$ ein Vielfaches von ${}f$ sein muss. Also ist ${}{\overline {a}}\,=0$ in ${}R/(f)$.
Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert ${}1$ und in allen anderen Komponenten den Wert ${}0$ haben, im Bild liegen. Es sei also ${}(1,0,\ldots ,0)$ vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind ${}p_{1}^{r_{1}}$ und ${}p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$ teilerfremd. Daher gibt es nach dem Lemma von Bezout eine Darstellung der Eins, sagen wir

${}sp_{1}^{r_{1}}+tp_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}=1\,.$

Betrachten wir ${}tp_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}=1-sp_{1}^{r_{1}}\in R$. Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf ${}1$ und in den übrigen Komponenten auf ${}0$ abgebildet, wie gewünscht.

$\Box$

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