Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 10 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Hintereinanderschaltung} {} der Abbildungen \maabbdisp {F} {L} {M } {} und \maabbdisp {G} {M} {N } {.}
}{Ein \stichwort {Isomorphismus} {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Der \stichwort {Spaltenrang} {} einer $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Der \stichwort {Dualraum} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die \stichwort {adjungierte Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{.}
}{Eine \stichwort {Fahne} {} in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.}{Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.}{Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge und
\maabb {\varphi} {M} {M
} {}
eine Abbildung. Es sei $\varphi^n$ die $n$-fache
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von $\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen
\mathl{m>n \geq 1}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^n
}
{ = }{ \varphi^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z
}
{ =} {(3-7 { \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $V$ ein Vektorraum und
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n} { }
eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von $V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt
\zusatzklammer {d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
Die Zeitungen $A,B$ und $C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit $100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.
\aufzaehlungvier{Die Abonnenten von $A$ bleiben zu $80\%$ bei $A$, $10\%$ wechseln zu $B$, $5 \%$ wechseln zu $C$ und $5 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $B$ bleiben zu $60\%$ bei $B$, $10\%$ wechseln zu $A$, $20 \%$ wechseln zu $C$ und $10 \%$ werden Nichtleser.
}{Die Abonnenten von $C$ bleiben zu $70\%$ bei $C$, niemand wechselt zu $A$, $10 \%$ wechseln zu $B$ und $20 \%$ werden Nichtleser.
}{Von den Nichtlesern entscheiden sich je $10\%$ für ein Abonnement von
\mathl{A,B}{} oder $C$, die übrigen bleiben Nichtleser.
}
a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.
b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je $20000$ Abonnenten und es gibt $40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?
c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls $100 000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen \zusatzklammer {und wie viele Nichtleser gibt es noch} {} {} nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei $\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }$ der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} von \mathkor {} {V} {nach} {W} {} und es sei $v \in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {F} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} {W } { \varphi} {F(\varphi) := \varphi(v) } {,} $K$-linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+2+6+1)}
{
Für eine
$n \times n$-\definitionsverweis {
Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ (a_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \delta(M)
}
{ =} { \sum_{ \pi \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\pi ) a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(M)
}
{ = }{ \det M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu verwenden
\zusatzklammer {Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden} {} {.}
a) Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta(E_n)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b) $\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.
c) $\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.
d) Man folgere aus a),b),c), dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta(M)
}
{ = }{ \det M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^2+(1+4 { \mathrm i} )X+3- { \mathrm i}} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2- { \mathrm i} & 1+3 { \mathrm i} \\ 5 & -3+4 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit $3$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-4y-2z+3w
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}