Kurs:Lineare Algebra/Teil I/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	8	3	4	2	10	3	3	4	4	2	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Hintereinanderschaltung der Abbildungen

   $F\colon L\longrightarrow M$

   und

   $G\colon M\longrightarrow N.$

2. Ein Isomorphismus zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.
3. Der Spaltenrang einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Der Dualraum zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
5. Die adjungierte Matrix zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$.
6. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge und ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine Abbildung. Es sei ${}\varphi ^{n}$ die ${}n$-fache Hintereinanderschaltung von ${}\varphi$ mit sich selbst. Zeige, dass es natürliche Zahlen ${}m>n\geq 1$ mit ${}\varphi ^{n}=\varphi ^{m}$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die lineare Gleichung

${}(2+5{\mathrm {i} })z=(3-7{\mathrm {i} })\,$

über ${}{\mathbb {C} }$ und berechne den Betrag der Lösung.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum und

$v_{1},\ldots ,v_{n}$

eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von ${}V$ bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}100000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}80\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}5\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}5\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}60\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}C$, niemand wechselt zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}20\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}10\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}20000$ Abonnenten und es gibt ${}40000$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}100000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ der ${}K$- Vektorraum der linearen Abbildungen von ${}V$ nach ${}W$ und es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow W,\,\varphi \longmapsto F(\varphi ):=\varphi (v),$

${}K$-linear ist.

Aufgabe * (10 (1+2+6+1) Punkte)

Für eine ${}n\times n$- Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ sei

${}\delta (M)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

Zeige die folgenden Aussagen direkt, ohne die Gleichheit ${}\delta (M)=\det M$ zu verwenden (Eigenschaften des Signums von Permutationen dürfen verwendet werden).

a) Es ist ${}\delta (E_{n})=1$.

b) ${}\delta$ ist multilinear in den Zeilen der Matrix.

c) ${}\delta$ ist alternierend in den Zeilen der Matrix.

d) Man folgere aus a),b),c), dass ${}\delta (M)=\det M$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{2}+(1+4{\mathrm {i} })X+3-{\mathrm {i} }$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}2-{\mathrm {i} }&1+3{\mathrm {i} }\\5&-3+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ eine Matrix mit ${}n$ (paarweise) verschiedenen Eigenwerten. Zeige, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Eigenwerte ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ ist, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ordnung der Matrix

${\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}}$

über dem Körper mit ${}3$ Elementen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}7x-4y-2z+3w=5\,.$