Kurs:Lineare Algebra/Teil I/11/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 11 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Körper} {} $K$.
}{Eine Zerlegung eines
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$ als
\stichwort {direkte Summe} {}
in die Untervektorräume
\mathl{U_1 , \ldots , U_m}{.}
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} einer
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise endlichen} {} {}
Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {alternierende Abbildung} {} \maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W } {,} wobei \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ sind.
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {affiner Unterraum} {} eines $K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} $V$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Körper $K$ ist ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
wenn
\mathl{K \neq 0}{} ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element in $K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
}{Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der
\mathl{U_i}{} ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i \cap { \left( \sum_{j \neq i} U_j \right) }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
} {Jeder Vektor
\mathl{v \in V}{} besitzt eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {u_1+u_2 + \cdots + u_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $u_i \in U_i$.
}
}{Eine Familie von Vektoren
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung
\mathdisp {\sum_{i \in J} a_i v_i =0 \text{ mit } a_i \in K \text{ für eine endliche Teilmenge } J \subseteq I} { }
nur bei
\mathl{a_i=0}{} für alle $i$ möglich ist.
}{Die Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V^n = \underbrace{V \times \cdots \times V}_{n\text{-mal} } } {W
} {}
heißt alternierend, wenn $\Phi$ multilinear ist und wenn folgendes gilt: falls in
\mathl{v= (v_1 , \ldots , v_{ n })}{} zwei Einträge übereinstimmen, also
\mathl{v_i=v_j}{} für ein Paar
\mathl{i \neq j}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Man nennt
\mathdisp {\operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die
geometrische Vielfachheit
des Eigenwerts.
}{Unter einem affinen Unterraum von $V$ versteht man
\zusatzklammer {die leere Menge oder} {} {}
eine Teilmenge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w+U
}
{ =} { { \left\{ w+u \mid u \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{U \subseteq V}{} ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} und
\mathl{w \in V}{} ein Vektor ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung}{Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.}{Der Satz über baryzentrische Koordinaten.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Dann ist auch die
\definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V
} {}
\definitionsverweis {linear}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{M= ( a _{ i j } )_{ i j }}{} eine
\mathl{n \times n}{-}Matrix über $K$. Zu
\mathl{i,j \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} sei
\mathl{M_{ij}}{} diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte weglässt.
Dann ist
\zusatzklammer {bei
\mathl{n \geq 2}{} für jedes feste $i$ bzw. $j$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } (-1)^{i+j} a_{ij} \det M_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Dann gibt es für jeden Punkt
\mathl{P \in E}{} eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_i P_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sum_{i \in I} a_i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Diese Vorlesung versteht keine Sau}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{
Es gibt eine Sau, die diese Vorlesung versteht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (2+2)}
{
Es sei
\mathbed {T_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Mengen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n
}
{ =} { T_n \setminus { \left( \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{i = 1}^{n} T_i
}
{ =} { \bigcup_{i = 1}^{n} S_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass die Vereinigung
\mathl{\bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{} disjunkt ist, dass also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S_n \cap S_k
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Wegen
\mathl{S_n \subseteq T_n}{} gilt
\mathl{\supseteq}{.} Zum Nachweis der umgekehrten Inklusion sei
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} T_i}{.} Dann gibt es ein $i$ zwischen $1$ und $n$ mit
\mathl{x \in T_i}{} und damit auch ein minimales $k$ mit dieser Eigenschaft. Es ist also
\mathl{x \in T_k}{,} aber
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i<k}{.} Damit ist
\mathl{x \in T_k \setminus \bigcup_{i = 1}^{k-1}T_i =S_k}{} und insbesondere
\mathl{x \in \bigcup_{i = 1}^{n} S_i}{.}
b) Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \neq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{x \in S_n =T_n \setminus \bigcup_{i = 1}^{n-1} T_i}{.} Dann ist
\mathl{x \in T_n}{} und
\mathl{x \not\in T_i}{} für
\mathl{i < n}{.} Also ist insbesondere
\mathl{x \not\in T_k}{} und damit auch
\mathl{x \not\in S_k}{.} Also sind $S_n$ und $S_k$ disjunkt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7
} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {4} {5} {1} }
{\mazeileundzwei {1} {2} }
gegebene Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\{1,2,3,4,5,6,7\} } {\{1,2,3,4,5,6,7\}
} {.}
a) Bestimme das Bild von
\mathl{\{1,2,3\}}{} unter $\varphi$.
b) Bestimme das Urbild von
\mathl{\{4,5,6,7\}}{} unter $\varphi$.
c) Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^3
}
{ =} { \varphi \circ \varphi \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Das Bild von
\mathl{\{1,2,3\}}{} ist
\mathl{\{4,7\}}{.}
b) Das Urbild von
\mathl{\{4,5,6,7\}}{} ist
\mathl{\{1,2,3,4\}}{.}
c)
\wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7
} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {1} {7} {1} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {5} {2} }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { (a_{ji})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} { (b_{kj})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{u_i
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} v_j
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n a_{ji} { \left( \sum_{k = 1}^n b_{kj} w_k \right) }
}
{ =} { \sum_{k = 1}^n { \left( \sum_{j = 1}^n b_{kj} a_{ji} \right) } w_k
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Der Koeffizient vor $w_k$ ist dabei das Produkt aus der $k$-ten Zeile von
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{} und der $i$-ten Spalte von
\mathl{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }}{,} und dies ist der Eintrag
\mathl{{ \left( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } \right) }_{ik}}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(0,1,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(9,6,5), (2,2,5) \text{ und } (7,3,4)} { }
aus.
}
{
Es geht um das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9a+2b+7c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6a+2b+3c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5a+5b+4c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen die zweite Zeile durch
\mathl{II-I}{} und die dritte durch
\mathl{2III-5I}{} und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9a+2b+7c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-3 a -4c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -35 a -27 c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen $III$ durch $4III-27II$ und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9a+2b+7c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-3 a -4c
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 59 a
}
{ =} { 27
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 59 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ -3a -1 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ -3\cdot{ \frac{ 27 }{ 59 } } -1 }{ 4 } }
}
{ =} { - { \frac{ 35 }{ 59 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } ( -9a -7c)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ 59 } } ( -9 \cdot 27 + 7 \cdot 35)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 59 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise den Basisaustauschsatz.
}
{
Wir führen Induktion über $k$, also über die Anzahl der Vektoren in der Familie. Bei
\mathl{k=0}{} ist nichts zu zeigen. Es sei die Aussage für $k$ schon bewiesen und seien
\mathl{k+1}{} linear unabhängige Vektoren
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, u_{k+1}} { }
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung, angewandt auf die
\zusatzklammer {ebenfalls linear unabhängigen} {} {} Vektoren
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
gibt es eine Teilmenge
\mathl{J=\{ i_1, i_2 , \ldots , i_k \} \subseteq \{1 , \ldots , n \}}{} derart, dass die Familie
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, b_i, i \in I \setminus J} { , }
eine Basis von $V$ ist. Wir wollen auf diese Basis
das Austauschlemma
anwenden. Da eine Basis vorliegt, kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_{k+1}
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k c_j u_j + \sum_{ i \in I \setminus J} d_i b_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben.
Wären hierbei alle Koeffizienten
\mathl{d_i=0}{,} so ergäbe sich sofort ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der
\mathbed {u_j} {}
{j=1 , \ldots , k+1} {}
{} {} {} {.}
Es gibt also ein
\mathl{i \in I \setminus J}{} mit
\mathl{d_{i} \neq 0}{.} Wir setzen
\mathl{i_{k+1}:=i}{.} Damit ist
\mathl{J'=\{ i_1, i_2 , \ldots , i_k, i_{k+1} \}}{} eine
\mathl{(k+1)}{-}elementige Teilmenge von
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.} Nach dem Austauschlemma kann man den Basisvektor
\mathkor {} {b_{i_{k+1} }} {durch} {u_{k+1}} {}
ersetzen und erhält die neue Basis
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, u_{k+1}, b_i, i \in I \setminus J'} { . }
Der Zusatz folgt sofort, da eine $k$-elementige Teilmenge einer $n$-elementigen Menge vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $\R^4$.
}
{
Die Summe der vier Vektoren ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 \\3\\ 3\\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gehört
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}}{} zu dem von den Vektoren erzeugten Untervektorraum. Daher gehören auch die Differenzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also die Standardvektoren, zu dem erzeugten Untervektorraum. Daher wird der ganze $\R^4$ erzeugt und die Dimension ist $4$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme, für welche $x \in {\mathbb C}$ die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}
{
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Die Determinante der Matrix ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det \begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}
}
{ =} { (x^2+x)(x^2-x) +x (-x^3 +2x^2+5x-1)
}
{ =} {x^4-x^2 -x^4 +2x^3+5x^2-x
}
{ =} {2x^3+4x^2-x
}
{ =} {x(2x^2+4x-1)
}
}
{}
{}{.}
Dies ist gleich $0$ bei $x_1=0$ oder bei $2x^2+4x-1=0$. Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu
\mathl{x^2+2x- \frac{1}{2}=0}{} bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x+1)^2 -1-\frac{1}{2}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+1
}
{ =} { \pm \sqrt{ \frac{3}{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mathdisp {x_2 = \sqrt{ \frac{3}{2} } -1 \text{ und } x_3 = - \sqrt{ \frac{3}{2} } -1} { . }
Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also
\mathdisp {0, \, \sqrt{ \frac{3}{2} } -1, \, - \sqrt{ \frac{3}{2} } -1} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{11 (6+5)}
{
Es sei $K$ ein Körper, \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine lineare Abbildung.
a) Zeige: $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {W} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ =} {\operatorname{Id}_W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Es sei nun $\varphi$ surjektiv, es sei
\mathdisp {S= { \left\{ \psi:W \rightarrow V \mid \psi \text{ linear} , \, \varphi \circ \psi = \operatorname{Id}_W \right\} }} { }
und es sei
\mathl{\psi_0 \in S}{} fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {\operatorname{Hom}_K(W, \operatorname{kern} \varphi )} {und} {S} {,}
unter der $0$ auf $\psi_0$ abgebildet wird.
}
{
a)
\mathl{\Leftarrow}{} Es gebe eine lineare Abbildung $\psi$ mit der angegebenen Eigenschaft
\mathl{\varphi \circ \psi = \operatorname{Id}_W}{.} Dann ist für jedes
\mathl{w \in W}{}
\mathdisp {w = \varphi( \psi(w))} { , }
also ist $\psi(w)$ ein Urbild für $w$ unter $\varphi$.
\mathl{\Rightarrow}{} Es sei
\mathl{w_1 , \ldots , w_n}{} eine Basis von
\mathl{W}{} und es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} Urbilder unter $\varphi$, also Elemente in
\mathl{V}{} mit
\mathdisp {\varphi(v_i)= w_i \text { für alle } i=1 , \ldots , n} { . }
Wir definieren nun eine lineare Abbildung
\maabb {\psi} {W} {V
} {} durch
\mathdisp {\psi(w_i) := v_i \text { für alle } i=1 , \ldots , n} { . }
Da man eine lineare Abbildung auf einer Basis frei vorgeben kann, ist dadurch in der Tat eine lineare Abbildung definiert.
Für die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} und einen beliebigen Vektor
\mathl{w= \sum_{i=1}^n a_iw_i}{} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(\varphi \circ \psi) ( \sum_{i = 1}^n a_iw_i)
}
{ =} { \varphi (\psi ( \sum_{i = 1}^n a_iw_i))
}
{ =} {\varphi ( \sum_{i = 1}^n a_i \psi ( w_i))
}
{ =} {\varphi ( \sum_{i = 1}^n a_i v_i)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i \varphi ( v_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{i = 1}^n a_i w_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Also ist diese Verknüpfung die Identität.
b) Wir definieren eine Abbildung durch
\maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_K(W, \operatorname{kern} \varphi ) } {S
} {\theta} { \theta + \psi_0
} {,}
wobei
\mathl{\theta + \psi_0}{} die Addition von linearen Abbildungen von
\mathkor {} {W} {nach} {V} {} ist. Unter dieser Abbildung geht die Nullabbildung auf $\psi_0$. Wir müssen zuerst zeigen, dass
\mathl{\theta + \psi_0}{} zu $S$ gehört. Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( \varphi \circ ( \theta + \psi_0 ))(w)
}
{ =} { \varphi (( \theta + \psi_0 )(w))
}
{ =} {\varphi ( \theta(w) + \psi_0 (w))
}
{ =} {\varphi ( \psi_0 (w))
}
{ =} {w
}
}
{}
{}{}
für alle
\mathl{w \in W}{.}
Zur Injektivität. Seien
\mathkor {} {\theta_1} {und} {\theta_2} {}
aus
\mathl{\operatorname{Hom}_K(W, \operatorname{kern} \varphi )}{} gegeben, die auf das gleiche Element in $S$ abgebildet werden. Dann ist
\mathdisp {\theta_1(w) + \psi_0(w)= \theta_2(w) + \psi_0(w) \text { für alle } w \in W} { }
und daher
\mathdisp {\theta_1(w) = \theta_2(w) \text { für alle } w \in W} { . }
Zur Surjektivität. Es sei
\mathl{\psi \in S}{.} Wir betrachten
\mathl{\psi - \psi_0}{} und behaupten, dass dies zu
\mathl{\operatorname{Hom}_K(W, \operatorname{kern} \varphi )}{} gehört. Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\varphi(( \psi- \psi_0)(w))
}
{ =} {\varphi( \psi(w)- \psi_0(w))
}
{ =} {\varphi( \psi(w))- \varphi ( \psi_0 (w))
}
{ =} {w-w
}
{ =} {0
}
}
{}
{}{.}
Damit ist
\mathl{\psi=( \psi-\psi_0) + \psi_0}{} im Bild der Abbildung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass eine Permutation auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} genau dann die Identität ist, wenn sie keinen
\definitionsverweis {Fehlstand}{}{}
besitzt.
}
{
Wenn $\pi$ die Identität ist, so ist für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ < }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürlich auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\pi(i)
}
{ = }{i
}
{ < }{j
}
{ = }{\pi(j)
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass kein Fehlstand vorliegt. Die Umkehrung beweisen wir durch Induktion über $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage richtig. Es sei sie für $n$ schon bewiesen und sei eine Permutation $\pi$ auf
\mathl{\{ 1 , \ldots , n+1\}}{} ohne Fehlstand gegeben. Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ < }{n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi(i)
}
{ < }{ \pi(n+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die $n$ verschiedenen Zahlen
\mathbed {\pi(i)} {}
{i = { \{ 1 , \ldots , n \} }} {}
{} {} {} {,}
sind also kleiner als
\mathl{\pi (n+1)}{,} und daher ist die einzige verbleibende Möglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\pi(n+1)
}
{ =} { n+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $n+1$ ein Fixpunkt von $\pi$ und somit kann man $\pi$ als eine Permutation auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{} auffassen. Diese besitzt ebenfalls keinen Fehlstand und ist nach Induktionsvoraussetzung die Identität, also ist auch $\pi$ die Identität.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq K[X]}{} ein Ideal, das die beiden Elemente
\mathkor {} {X^2+7X+5} {und} {6X+3} {}
enthält. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2+7X+5
}
{ =} { { \left( 6X+3 \right) } { \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } X + { \frac{ 13 }{ 12 } } \right) } + { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da
\mathkor {} {X^2+7X+5} {und} {{ \left( 6X+3 \right) } { \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } X + { \frac{ 13 }{ 12 } } \right) }} {}
zum Ideal ${\mathfrak a}$ gehören, gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ =} {X^2+7X+5 - { \left( 6X+3 \right) } { \left( { \frac{ 1 }{ 6 } } X + { \frac{ 13 }{ 12 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu ${\mathfrak a}$. Damit gehört auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 7 } } \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zum Ideal und wegen $P=P\cdot1$ für alle Polynome $P$ ist ${\mathfrak a}$ das Einheitsideal.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $\R$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 +3M -4 E_2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Gesamtbedingung führt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2 & ab +bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a^2 & ab +bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} -4 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit auf die drei Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2 +3a-4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d^2 +3d-4
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a+d+3 )b
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,d
}
{ =} { 1, -4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}} { }
Lösungen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss zusätzlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+d
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, und daher sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & -4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ mit } b \neq 0} { }
weitere Lösungen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Aussage: Es sei $\lambda$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
zur
\definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beweis: Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert $\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} d_1 & \ast & \cdots & \cdots & \ast \\ 0 & d_2 & \ast & \cdots & \ast \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1} & \ast \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_nx_n
}
{ =} { \lambda x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $x$ als Eigenvektor von $0$ verschiedenen sein muss, kann man durch $x_n$ dividieren und erhält
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_n
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} }{}
}
{
Es ist zwar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dies bedeutet aber nur, dass mindestens eine Komponente nicht $0$ ist. Der letzte Eintrag kann $0$ sein, und dann kann man die behauptete Division nicht durchführen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\Q^3} {\Q^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 7 & 8 \\ 0 & -2 & -2 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & 7 & 8 \\ 0 & -2 & -2 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}{} gehört nicht zum Kern von $M^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \\-2\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -14 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} -14 \\0\\ 0 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} 8 \\-2\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\0 & 0 & -2 \end{pmatrix}} { }
vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Punkten in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$. Zeige, dass durch eine
\definitionsverweis {baryzentrische Kombination}{}{}
\mathl{\sum_{i \in I} a_iP_i}{}
ein eindeutiger Punkt in $E$ definiert wird.
}
{
Es seien
\mathl{Q,Q' \in E}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{Q + \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ Q P_i }
}
{ =} {Q' + \overrightarrow{ Q' Q } + \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ Q P_i }
}
{ =} {Q' +\sum_{i \in I} a_i { \left( \overrightarrow{ Q' Q } + \overrightarrow{ Q P_i } \right) }
}
{ =} {Q' + \sum_{i \in I} a_i \overrightarrow{ Q' P_i }
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
der Punkt ist also wohldefiniert.
}