Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} zu einer Familie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines \definitionsverweis {affinen Raumes}{}{} $E$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt die Menge
\mathdisp {M = \prod_{i \in I} M_i = \{ (x_i)_{ i \in I} :\, x_i \in M_i \text{ für } \text{alle } i \in I \}} { }
die Produktmenge der $M_i$.
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}Matrix über $K$ ist ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei die
\mathl{a_{ij}}{} aus $K$ sind.
}{Die Abbildung $\varphi$ werde bezüglich einer Basis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi
}
{ \defeq} { \det M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Determinante der linearen Abbildung $\varphi$.
}{Man nennt
\mathdisp {\operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }} { }
die
geometrische Vielfachheit
des Eigenwerts.
}{Das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
}{Man nennt $n$ die Dimension von $E$, wenn es in $E$ eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
mit
\mathl{n+1}{} Elementen gibt.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}{Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Unter den gegebenen Bedingungen besitzt $V$ eine endliche Basis.}{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine Nullstelle von $F$, wenn $F$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann ist
\mathdisp {\operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } = \operatorname{kern} { \left( \lambda \cdot
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi \right) }} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
}
{
Karl hat nicht an Susanne gedacht, da er sonst einen Kloß im Hals bekommen hätte, was er nicht hat. Andererseits bekommt er einen roten Kopf, was bedeutet, dass er das leere Tor nicht getroffen hat oder an Susanne gedacht hat. Da letzteres nicht der Fall ist, hat er das leere Tor nicht getroffen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \setminus C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.} Das bedeutet $x \in A$ und
\mathl{x \notin B \setminus C}{.} Dies wiederum bedeutet
\mathl{x \notin B}{} oder
\mathl{x \in B \cap C}{.} Somit ist insgesamt
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }}{.}
Es sei nun umgekehrt
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }}{.} Bei
\mathl{x \in { \left( A \setminus B \right) }}{} ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{x \notin B}{} und somit ist insbesondere
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.} Ist hingegen
\mathl{x \in A \cap C}{,} so ist bei
\mathl{x \in A \setminus B}{} die Zugehörigkeit zur linken Menge schon erwiesen. Also müssen wir nur noch den Fall
\mathl{x \in B}{} betrachten. In diesem Fall ist
\mathl{x \notin B \setminus C}{} und somit ist ebenfalls
\mathl{x \in A \setminus { \left( B \setminus C \right) }}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }
}
{
Nach
dem binomischen Lehrsatz
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (x+ { \mathrm i} y)^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } x^{n-k} { \mathrm i}^k y^k
}
{ =} { \sum_{ k \leq n \text{ gerade} }(-1)^{k/2} \binom { n } { k } x^{n-k} y^k + { \mathrm i} { \left( \sum_{ k \leq n \text{ ungerade} } (-1)^{(k-1)/2} \binom { n } { k } x^{n-k} y^k \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+7 y &
\, \, \, \, - z &
-3 w & = & 0 \\ x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, - w & = & 1 \\ &
+2 y &
-3 z &
+2 w & = & 3 \\ &
\, \, \, \, - y &
-5 z &
+4 w & = & -2 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $x$, indem wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
+6 y &
-3 z &
-2 w & = & -1 \\
&
+2 y &
-3 z &
+2 w & = & 3 \\
&
\, \, \, \, - y &
-5 z &
+4 w & = & -2 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II+I}{} und
\mathl{III-2II}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
+8 y &
-6 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
&
-5 y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -8 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{I+6II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -22 y
}
{ =} {-46
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 23 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 27 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 34 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { - { \frac{ 32 }{ 11 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Bestimme \zusatzklammer {ohne Begründung} {} {,} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im $\R^2$ als Lösungsmenge eines linearen \zusatzklammer {inhomogenen} {} {} Gleichungssystems auftreten können \zusatzklammer {man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {AY 3 8910 obwiednia 1100.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { AY 3 8910 obwiednia 1100.svg } {} {Masur} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Primka.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Primka.png } {} {Vojtech001} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Point and line.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Point and line.png } {} {Περίεργος} {el. Wikipedia} {GnuFDL} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {File Upload Bot (Magnus Manske)} {Commons} {Gemeinfrei} {}
}
}
{
2 (Gerade) und 5 (Punkt) können als Lösungsmenge eines Gleichungssystems auftreten, die anderen nicht.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.
}
{
Aufgrund des Distributivgesetzes für die Matrizenmultiplikation ist direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M (y+z)
}
{ =} { My +Mz
}
{ =} { c +d
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir beweisen die Aussage durch eine Doppelinduktion über
\mathl{k,n \geq 1}{.} Die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(k,n)
}
{ =} { (1,1),\, (1,2),\, (2,1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind unmittelbar klar bzw. folgen direkt aus den Axiomen für einen Vektorraum.
Die Aussage für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige $n$ beweisen für durch Induktion nach $n$, wobei der Induktionsanfang durch die Vorbemerkung gesichert ist. Es sei die Aussage für ein $n$ schon bewiesen, und seien
\mathl{n+1}{} Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n, v_{n+1} \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung des Falles
\mathl{(1,2)}{} und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ s { \left( \sum_{j = 1}^{n+1} v_j \right) }
}
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j + v_{n+1} \right) }
}
{ =} { s { \left( \sum_{j = 1}^{n} v_j \right) } + s v_{n+1}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n } s \cdot v_j + s v_{n+1}
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq j \leq n +1} s \cdot v_j
}
}
{}
{}{.}
Wir betrachten nun die Aussage für ein festes $k$ und beliebige $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese Aussage bereits bewiesen. Es sei diese Aussage nun für ein festes $k$ schon bewiesen Es seien Skalare $s_1 , \ldots , s_k ,s_{k+1}\in R$ und Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} gegeben. Dann ist unter Verwendung der Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (k,n)
}
{ = }{ (2 ,1 ), (1,n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( \sum_{i = 1}^{ k+1} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i + s_{k+1} \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{ k} s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) } + s_{k+1} \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j + \sum_{j = 1}^n s_{k+1} \cdot v_j
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k+1,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$K^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
}
{
Die Untervektorräume des $K^2$ sind der Nullraum, die Geraden durch den Nullpunkt und die Gesamtebene. Der Nullraum und die Ebene sind offenbar unter der komponentenweisen Multiplikation abgeschlossen. Eine Gerade durch den Nullpunkt hat entweder die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {ax
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathl{a \in K}{.} Die erstgenannte Gerade
\zusatzklammer {die $y$-Achse} {} {}
ist multiplikativ abgeschlossen, da ja
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( 0,y) \cdot (0,z)
}
{ =} { (0, yz)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wieder dazu gehört. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ \left( x , \, y \right) \mid y = ax \right\} }
}
{ =} { K \cdot \left( 1 , \, a \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die multiplikative Abgeschlossenheit bedeutet, dass für beliebige
\mathl{c,d \in K}{} das Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c \left( 1 , \, a \right) \cdot d \left( 1 , \, a \right)
}
{ =} { cd \left( 1 , \, a^2 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wieder auf der Geraden liegt. Dies ist genau bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^2
}
{ =} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Fall, also bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a (a-1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet. Es sind also auch noch die $x$-Achse und die Diagonale unter der Multiplikation abgeschlossen, und keine weiteren Untervektorräume.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet ausgeschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xa+yc
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xb +yd
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ za +wc
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ zb+wd
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,c)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(b,d)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus der zweiten Gleichung folgt nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)),
dass es ein
\mathl{s \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {sd
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {-sb
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { sda-sbc
}
{ =} { s(da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ d }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ b }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein
\mathl{t \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {tc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} {-ta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { tcb - tad
}
{ =} { -t (da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { - { \frac{ c }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ a }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ d }{ da-bc } } & - { \frac{ b }{ da-bc } } \\ - { \frac{ c }{ da-bc } } & { \frac{ a }{ da-bc } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -cb +da \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -cb +da \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zu jedem $k$ gebe es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {\varphi_k} { V} {K
} {}
mit
\mathdisp {\varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k} { . }
Zeige, dass die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
}
{
Wir betrachten die Gesamtabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} {K^n
} {v} { \left( \varphi_1(v) , \, \ldots , \, \varphi_n(v) \right)
} {.}
Unter dieser Abbildung wird der Vektor $v_i$ auf den Standardvektor $e_i$ im $K^n$ abgebildet. Da diese linear unabhängig sind, müssen auch die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} linear unabhängig sein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Signum}{}{} einer \definitionsverweis {Transposition}{}{} gleich $-1$ ist.
}
{
Die Transposition $\tau$ vertausche die beiden Zahlen
\mathl{k< \ell}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{sgn}(\tau)
}
{ =} {\prod_{ i < j } \frac{ \tau( j ) - \tau( i )}{ j - i }
}
{ =} {\prod_{i<j,\, i,j \neq k, \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j \neq \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i \neq k , j= \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
\cdot \prod_{i<j,\, i=k , j = \ell } \frac{ \tau(j) - \tau (i) }{ j-i }
}
{ =} {\prod_{ j > k,\, j \neq \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i \neq k ,\, i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot { \frac{ k - \ell }{ \ell - k } }
}
{ =} {\prod_{j > \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ i < k } \frac{ k -i }{ \ell -i }
\cdot \prod_{ k <j < \ell } \frac{ j - \ell }{ j-k }
\cdot \prod_{ k < i < \ell } \frac{ k -i }{ \ell -i } \cdot (-1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die letzte Gleichung ergibt sich daraus, dass im ersten und im zweiten Produkt alle Zähler und Nenner positiv sind und dass im dritten und im vierten Produkt die Zähler negativ und die Nenner positiv sind, so dass sich diese
\zusatzklammer {wegen der gleichen Indexmenge} {} {}
Minuszeichen wegkürzen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{
Aus der Matrix kann man direkt die drei Eigenwerte
\mathl{3,-1,7}{} ablesen. Daher ist die Matrix diagonalisierbar und die Eigenräume sind eindimensional.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M- 3 E_3
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 4 & -5 \\ 0 & -4 & 4 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der zugehörige Eigenraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 3 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M + 1 E_3
}
{ =} {\begin{pmatrix} 4 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 8 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}}{} ein Element des Kernes und somit ist
der zugehörige Eigenraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ -1 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M- 7 E_3
}
{ =} {\begin{pmatrix} -4 & 4 & -5 \\ 0 & -8 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es ist
\mathl{\begin{pmatrix} -3 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix}}{} ein Element des Kernes und somit ist
der zugehörige Eigenraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ 7 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \R \begin{pmatrix} -3 \\ 2\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Es sei
\mathl{k \leq n}{.} Zeige, dass es genau dann einen
\definitionsverweis {invarianten Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, wenn es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ gibt, bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
von $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1k} & a_{1k+1} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & \ldots & a_{kk} & a_{k k+1} & \ldots & a_{kn} \\
0 & \ldots & 0 & a_{k+1 k+1} & \ldots & a_{k+1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & a_{n k+1} & \ldots & a_{n n}
\end{pmatrix}} { }
besitzt.
}
{
Es sei zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein invarianter Untervektorraum der Dimension $k$. Wir wählen eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_k}{} von $U$ und ergänzen sie zu einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_k, v_{k+1} , \ldots , v_n}{} von $V$. Wegen der Invarianz ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ \in} { U
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_k \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \leq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^k a_{ji} v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \leq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Daher sind in der beschreibenden Matrix von $\varphi$ bezüglich dieser Matrix in den ersten $k$ Spalten und den unteren
\mathl{n-k}{} Zeilen die Einträge $0$.
Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ =} { \sum_{ j = 1}^k a_{ji} v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \leq }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dies bedeutet, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq} { \langle v_1 , \ldots , v_k \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf sich selbst abgebildet wird, und damit ist ein $k$-dimensionaler invarianter Untervektorraum gefunden.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.
}
{
Wir betrachten die Menge aller Linearkombinationen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ Q_1P_1 + \cdots + Q_nP_n \mid Q_i \in K[X] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
von
\mathl{K[X]}{,} wie man direkt überprüft. Nach
Satz 20.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
ist dieses Ideal ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} {(E)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen Polynom $E$. Es ist $E$ ein gemeinsamer Teiler der $P_i$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_i \in I
}
{ = }{ (E)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i
}
{ =} { H_i E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. $E$ ist ein Teiler von jedem $P_i$. Aufgrund einer ähnlichen Überlegung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_i
}
{ \in} { (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ und damit auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(E)
}
{ =} {I
}
{ \subseteq} { (G)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { G F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach Voraussetzung $G$ den maximalen Grad unter allen gemeinsamen Teilern besitzt, muss
\mathl{F \neq 0}{} eine Konstante sein. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(G)
}
{ =} {(E)
}
{ =} { I
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere
\mathl{G \in I}{.} Also ist $G$ eine Linearkombination der $P_i$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^n}{} für alle
\mathl{n \in \N_+}{.}
}
{
Die Matrix $M$ selbst ist eine Jordan-Matrix, also in jordanscher Normalform. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Diese Abbildung sendet
\mathl{e_3 \mapsto e_1}{} und
\mathl{e_1,e_2 \mapsto 0}{.} Die jordansche Normalform davon ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Alle höheren Potenzen von $M$ sind die Nullmatrix und dies ist ihre jordansche Normalform.
}