Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Summe} {}
von Untervektorräumen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n \subseteq V}{} in einem Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {duale Abbildung} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Ein
\stichwort {Zykel der Ordnung} {}
$r$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} $d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Basiswechsel.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Wir betrachten Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}} { . }
}{Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
}{Bestimme die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{.}
}{Man gebe eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\d & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
an, die nicht invertierbar ist.
}{Sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { }
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Basisergänzungssatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die Quadratabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {x^2
} {,}
für verschiedene Körper $K$.
\aufzaehlungdrei{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Körper mit zwei Elementen.
}{Es sei nun $K$ ein Körper, in dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ = }{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} 7u+3v-8w \\4u-6z\\ -2w-2z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {4} {3} {1} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass das Polynom $X^2+1$ für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} und das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
\aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mathl{4x-7y=5}{} gegebene Achse.
}{Die Scherung, die durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
}{Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
}{Die Streckung mit dem Faktor ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\12\\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\-10\\ 2 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(-1,3)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{} {}