Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 5 | 6 | 2 | 4 | 3 | 2 | 7 | 3 | 4 | 3 | 10 | 3 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
- Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
- Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
- Die duale Abbildung zu einer
linearen Abbildung
zwischen - Vektorräumen und .
- Ein Zykel der Ordnung auf .
- Eine nilpotente - Matrix über .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Basiswechsel.
- Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
- Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
Aufgabe (3 Punkte)
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)
Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.
- Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
- Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
- Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
- Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.
Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)
Wir betrachten Matrizen der Form
- Berechne
- Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
- Bestimme die Determinante von .
- Man gebe eine Matrix der Form
an, die nicht invertierbar ist.
- Sei
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
Aufgabe * (2 Punkte)
Beweise den Basisergänzungssatz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Wir betrachten die Quadratabbildung
für verschiedene Körper .
- Ist linear für
- Ist linear für
dem Körper mit zwei Elementen.
- Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei
eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in
Summen und Skalare nach außen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
b) Zeige, dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
c) Zeige, dass
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und es sei ein - dimensionaler Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass das Polynom für unendlich viele reelle - Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.
Aufgabe * (10 Punkte)
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
- Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
- Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
- Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
- Die Streckung mit dem Faktor .
Aufgabe * (3 Punkte)