Kurs:Lineare Algebra/Teil I/52/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	6	1	4	4	4	5	1	2	6	2	0	5	4	3	57

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die leere Menge.
2. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
3. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.
4. Eine alternierende Abbildung

   $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W,$

   wobei ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ sind.

5. Eine Fahne in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt ${}P\in E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer affinen Basis ${}P_{i}$, ${}i\in I$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper ${}K$.
2. Der Satz über ${}n$ Vektoren in einem ${}n$- dimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
3. Der Satz über Ideale in einem Polynomring ${}K[X]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.

Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir definieren die Folge (der sogenannten Bernoulli-Zahlen) ${}B_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, durch ${}B_{0}=1$ und für ${}n\geq 1$ durch die rekursive Bedingung

${}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n+1}{j}}B_{j}=0\,.$

1. Berechne ${}B_{1}$.
2. Berechne ${}B_{2}$.
3. Berechne ${}B_{3}$.
4. Berechne ${}B_{4}$.
5. Zeige, dass alle ${}B_{n}$ rationale Zahlen sind.

Aufgabe * (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft, in Punktvektorform.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&+3y&\,\,\,\,-z&+w&=&2\\2x&\,\,\,\,-y&-2z&+w&=&0\\-x&+y&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-2\\x&+2y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&3\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}\in K$ Elemente in einem Körper ${}K$. Zeige, dass

${}w=\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{1}\mu _{3}+\mu _{2}\mu _{3}\,$

und

${}z=-(\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3})w+\mu _{1}\mu _{2}\mu _{3}\,$

die Gleichung ${}z^{2}=(w+\mu _{1}^{2})(w+\mu _{2}^{2})(w+\mu _{3}^{2})$ erfüllen.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen ${}A,B$ und ${}C$ verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit ${}8000$ potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

1. Die Abonnenten von ${}A$ bleiben zu ${}75\%$ bei ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}B$, ${}0\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}15\%$ werden Nichtleser.
2. Die Abonnenten von ${}B$ bleiben zu ${}70\%$ bei ${}B$, ${}10\%$ wechseln zu ${}A$, ${}10\%$ wechseln zu ${}C$ und ${}10\%$ werden Nichtleser.
3. Die Abonnenten von ${}C$ bleiben zu ${}50\%$ bei ${}C$, ${}5\%$ wechseln zu ${}A$, ${}20\%$ wechseln zu ${}B$ und ${}25\%$ werden Nichtleser.
4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je ${}15\%$ für ein Abonnement von ${}A,B$ oder ${}C$, die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je ${}1500$ Abonnenten und es gibt ${}3500$ Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls ${}8000$ potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme eine Basis des Urbildes von

${}T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}7\\1\\12\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$

zur linearen Abbildung

$\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&3&-1\\0&-1&3&2\\4&1&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die ${}0$ auf die ${}0$ abgebildet wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne über den komplexen Zahlen das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}2+{\mathrm {i} }&1&1+3{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&0&4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2{\mathrm {i} }&1+2{\mathrm {i} }\\1&2+3{\mathrm {i} }\\-1&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

${}P=-6X^{9}-5X^{8}-4X^{7}+{\frac {1}{9}}X^{6}+X^{2}+X\,$

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu ${}X^{6}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$. Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}37x-13y-5z+w=2\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}-4\\12\\5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}5\\-10\\2\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(-1,3)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.