Kurs:Lineare Algebra/Teil I/55/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	7	3	4	4	3	8	0	4	0	3	7	0	0	4	0	0	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Teilmenge ${}T$ einer Menge ${}M$.
2. Ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$.
3. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ und einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}W$.

4. Die Determinante einer ${}n\times n$- Matrix ${}M$.
5. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
6. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung ${}\varphi$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und einem Eigenwert ${}\lambda \in K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Anzahl von Basiselementen.
2. Der Satz über die Umkehrabbildung einer linearen Abbildung
3. Die Leibniz-Formel für die Determinante.

Aufgabe (1 Punkt)

Wie sinnvoll ist die Gleichungskette

${}{\text{Pythagoras}}=c^{2}=a^{2}+b^{2}\,?$

Aufgabe * weiter

Auf der Dating-Plattform „Catch your match“ ist eine Menge ${}M$ von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge ${}E$ von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht (was man dem Profil entnehmen kann). Zu einer Teilmenge an Eigenschaften ${}W\subseteq E$ (Wunscheigenschaften) definieren wir

${}W^{\perp }={\left\{m\in M\mid m{\text{ besitzt alle Eigenschaften aus }}W\right\}}\,$

und zu einer Teilmenge ${}S\subseteq M$ definieren wir

${}S^{\perp }={\left\{e\in E\mid {\text{ jeder Mensch aus }}S{\text{ besitzt die Eigenschaft }}e\right\}}\,.$

1. Beschreibe zu einer Eigenschaft ${}e\in E$ die Menge ${}\{e\}^{\perp }$ mit einem Satz.
2. Beschreibe zu einer Person ${}m\in M$ die Menge ${}\{m\}^{\perp }$ mit einem Satz.
3. Warum ist vermutlich ${}E^{\perp }=\emptyset$?
4. Zeige: Zu Teilmengen ${}W_{1}\subseteq W_{2}$ (in ${}E$) ist

   ${}{\left(W_{1}\right)}^{\perp }\supseteq {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

5. Zeige: Für eine beliebige Teilmenge ${}W\subseteq E$ ist

   ${}W\subseteq {\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\,.$

6. Zeige: Für eine Vereinigung

   ${}W=W_{1}\cup W_{2}\subseteq E\,$

   ist

   ${}{\left(W_{1}\cup W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cap {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,.$

7. Gilt für einen Durchschnitt

   ${}W=W_{1}\cap W_{2}\subseteq E\,.$

   die Beziehung

   ${}{\left(W_{1}\cap W_{2}\right)}^{\perp }={\left(W_{1}\right)}^{\perp }\cup {\left(W_{2}\right)}^{\perp }\,?$

8. Gilt für eine beliebige Teilmenge ${}W\subseteq E$ die Beziehung

   ${}W^{\perp }={\left({\left(W^{\perp }\right)}^{\perp }\right)}^{\perp }\,?$

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt ${}100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von ${}100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von ${}2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}4x&+2y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\x&+y&+2z&\,\,\,\,-w&=&1\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&\,\,\,\,-z&+3w&=&2\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+3z&-2w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${}(-1,1)$ und ${}(4,-2)$ verläuft.

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,1,2)$

als Linearkombination der Vektoren

$(2,0,2),(1,-1,3){\text{ und }}(1,2,3)$

aus.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Basisaustauschsatz.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}-2-{\mathrm {i} }&3-4{\mathrm {i} }&2{\mathrm {i} }\\0&6+7{\mathrm {i} }&4\\3+3{\mathrm {i} }&4-3{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

${}F(x)=x^{4}-x^{3}\,.$

Finde ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass

${}x^{4}-x^{3}=(x-a)^{2}(x-b)^{2}+cx+d\,$

gilt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)