Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 8 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 7 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 7 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Potenzmenge} {} zu einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen den $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein
\stichwort {affiner Isomorphismus} {}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.}{Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay $4$ Stunden \zusatzklammer {in Paraguay wurde es $4$ Stunden später hell} {} {.} Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von $2$ auf $3$ vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{L,M,N}{} Mengen und
\maabb {f} {L} {M
} {}
und
\maabb {g} {M} {N
} {}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass für jede Teilmenge
\mathl{U \subseteq N}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{-1} { \left( g^{-1} (U) \right) }
}
{ =} { { \left( g \circ f \right) }^{-1} (U)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(1,0,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
a) Bestimme, ob die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
b) Finde eine Lösung für das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (2+2+4)}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen.
a) Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der Dimension $d$. Wie viele Elemente besitzt $V$?
b) Zeige, dass ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} genau dann endlich ist, wenn er \definitionsverweis {endlichdimensional}{}{} ist.
c) Wie viele Basen besitzt ein $d$-dimensionaler $K$-Vektorraum?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
die durch die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen \zusatzklammer {bei gegebenen Basen} {} {} bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
${ V }^{ * }$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { F_1 \cdots F_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Faktorzerlegung in Polynome $F_i$ von positivem Grad. Zeige, dass
\mathl{F_i(M)}{} nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
\anfuehrung{Zu zwei quadratischen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathl{M,N}{} gilt für die
\definitionsverweis {charakteristischen Polynome}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \chi_{ M } \chi_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Definition ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M \circ N }
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \circ N \right)
}
{ =} { \det \left( XE_n - M \right) \det \left( XE_n - N \right)
}
{ =} { \chi_{ M } \cdot \chi_{ N }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige die folgenden Identitäten in $V$.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P P }
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\overrightarrow{ P Q }
}
{ = }{- \overrightarrow{ Q P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q } + \overrightarrow{ Q R }
}
{ = }{ \overrightarrow{ P R }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}