Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 4 | 8 | 5 | 6 | 7 | 6 | 3 | 1 | 7 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Potenzmenge zu einer Menge .
- Eine
lineare Abbildung
zwischen den -Vektorräumen und .
- Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
- Die Determinante einer - Matrix .
- Eine nilpotente
lineare Abbildung
auf dem - Vektorraum .
- Ein
affiner Isomorphismus
zwischen den affinen Räumen und über den - Vektorräumen bzw. .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Dimensionsformel
für eine
lineare Abbildung
- Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
- Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.
Aufgabe * (2 Punkte)
Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
a) Bestimme, ob die komplexe Matrix
invertierbar ist.
b) Finde eine Lösung für das
inhomogene lineare Gleichungssystem
Aufgabe * (8 (2+2+4) Punkte)
Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.
a) Es sei ein - Vektorraum der Dimension . Wie viele Elemente besitzt ?
b) Zeige, dass ein - Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.
c) Wie viele Basen besitzt ein -dimensionaler -Vektorraum?
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.
Aufgabe * (7 Punkte)
Es sei ein - Vektorraum und seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum die Gleichheit
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine - Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei
eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.
Aufgabe * (1 Punkt)
Was ist falsch an der folgenden Argumentation:
„Zu zwei quadratischen - Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung
Nach Definition ist nämlich
wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Zeige die folgenden Identitäten in .
- für .
- für .
- für .