Charakteristisches Polynom/Produktregel/Falscher Beweis/Aufgabe

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen ${}n\times n$-Matrizen ${}M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

${}\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.$

Nach Definition ist nämlich

${}\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,$

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen