Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 5 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 6 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 11 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Der \stichwort {Kern} {} einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen zwei $K$-Vektorräumen \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Eine \stichwort {Projektion} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Eine \stichwort {affine Basis} {} in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$ über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.}{Die \stichwort {Cramersche Regel} {} zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es soll Holz unterschiedlicher Länge
\zusatzklammer {ohne Abfall} {} {}
in Stücke zerlegt werden, die zwischen $30$ und
\mathl{40}{} cm lang sein sollen
\zusatzklammer {jeweils einschließlich} {} {.}
Für welche Holzlängen ist dies möglich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
\mathdisp {( a + b )^{n} = \sum_{ k=0 } ^{ n } \binom { n } { k } a^{k} b^{n - k}} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem Körper $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Betrachte die reellen Zahlen $\R$ als $\Q$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen $\ln p$, wobei $p$ durch die Menge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} läuft, \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Im $\R^3$ seien die beiden
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 9 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { { \left\{ p \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 5 \\2\\ -4 \end{pmatrix} \mid p,q \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme eine Basis für
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume
\mathl{U_1,U_2,U_3}{} in einem Vektorraum $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U_1+U_2+U_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i \cap U_j
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \neq }{j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die komplexen Zahlen $z$, für die die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} z & 2 & 2z+1 \\ 3 & 1 & 4 \\z & 5 & z \end{pmatrix}} { }
nicht invertierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Satz, dass das \definitionsverweis {Signum}{}{} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{11 (3+3+2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathdisp {c_1 , \ldots , c_n \in K} { }
Elemente, die nicht alle gleich $0$ seien. Wir betrachten die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ =} {c_i c_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sind.
a) Bestimme den \definitionsverweis {Rang}{}{} der Matrix $M$.
b) Zeige, dass der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots\\ c_n \end{pmatrix}}{} ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ ist und bestimme den zugehörigen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{.}
c) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
d) Zeige, dass $M$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht diagonalisierbar sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$4$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Jordanmatrix}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Kerne}{}{}
\mathl{\operatorname{kern} M^{i}}{} eine
\definitionsverweis {Fahne}{}{}
in $K^n$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über $K$ mit Punkten
\mathl{P_1,P_2 \in E}{} und
\mathl{Q_1,Q_2 \in F}{.} Zeige, dass im
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
die
\definitionsverweis {baryzentrische}{}{}
Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(P_2,Q_2)
}
{ =} { (P_1,Q_2) + (P_2,Q_1)- (P_1,Q_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}