Kurs:Lineare Algebra/Teil I/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	5	4	4	1	4	6	5	11	3	5	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Eine Projektion

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
2. Die Cramersche Regel zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es soll Holz unterschiedlicher Länge (ohne Abfall) in Stücke zerlegt werden, die zwischen ${}30$ und ${}40$ cm lang sein sollen (jeweils einschließlich). Für welche Holzlängen ist dies möglich?

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

für ${}n\in \mathbb {N}$ und beliebige Elemente ${}a,b\in K$ in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\ln p$, wobei ${}p$ durch die Menge der Primzahlen läuft, linear unabhängig ist. Tipp: Verwende, dass jede positive natürliche Zahl eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

$U={\left\{s{\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\-2\\9\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}$

und

$V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}5\\2\\-4\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Untervektorräume ${}U_{1},U_{2},U_{3}$ in einem Vektorraum ${}V$ derart, dass ${}V=U_{1}+U_{2}+U_{3}$ ist, dass ${}U_{i}\cap U_{j}=0$ für ${}i\neq j$ ist, und so, dass die Summe nicht direkt ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$. Zeige ${}\varphi (0)=0$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die komplexen Zahlen ${}z$, für die die Matrix

${\begin{pmatrix}z&2&2z+1\\3&1&4\\z&5&z\end{pmatrix}}$

nicht invertierbar ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe * (11 (3+3+2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien

$c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$

Elemente, die nicht alle gleich ${}0$ seien. Wir betrachten die ${}n\times n$- Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei die Einträge durch

${}a_{ij}=c_{i}c_{j}\,$

gegeben sind.

a) Bestimme den Rang der Matrix ${}M$.

b) Zeige, dass der Vektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.

c) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K=\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

d) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K={\mathbb {C} }$ nicht diagonalisierbar sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe eine Matrix ${}M\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Q} \right)}$ der Ordnung ${}4$ an.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}M$ eine nilpotente ${}n\times n$- Jordanmatrix. Zeige, dass die Kerne ${}\operatorname {kern} M^{i}$ eine Fahne in ${}K^{n}$ bilden.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über ${}K$ mit Punkten ${}P_{1},P_{2}\in E$ und ${}Q_{1},Q_{2}\in F$. Zeige, dass im Produktraum die baryzentrische Beziehung

${}(P_{2},Q_{2})=(P_{1},Q_{2})+(P_{2},Q_{1})-(P_{1},Q_{1})\,$

gilt.