Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien

$c_{1},\ldots ,c_{n}\in K$

Elemente, die nicht alle gleich ${}0$ seien. Wir betrachten die ${}n\times n$-Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei die Einträge durch

${}a_{ij}=c_{i}c_{j}\,$

gegeben sind.

a) Bestimme den Rang der Matrix ${}M$.

b) Zeige, dass der Vektor ${}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ ist und bestimme den zugehörigen Eigenwert.

c) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K=\mathbb {R}$ diagonalisierbar ist.

d) Zeige, dass ${}M$ bei ${}K={\mathbb {C} }$

nicht diagonalisierbar sein muss.

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