Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}M={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,.$

Daher besitzt die durch ${}M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form

$K^{n}\longrightarrow K\longrightarrow K^{n}.$

Daher ist das Bild von ${}M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens ${}1$. Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist ${}M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau ${}1$.

b) Es ist

${}{\begin{aligned}M{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{1}c_{j}c_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{n}c_{j}c_{j}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{1}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{n}\end{pmatrix}}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}\right)}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}$.

c) Die Matrix ${}M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen ${}(n-1)$-dimensionalen Kern. Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von ${}0$ verschiedenen Eigenwert (da wir in ${}\mathbb {R}$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten). Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich ${}n$ und somit liegt nach Fakt eine diagonalisierbare Abbildung vor.

d) Es sei ${}c_{1}=1$ und ${}c_{2}={\mathrm {i} }$. Die in Frage stehende Matrix ist dann

${}M={\begin{pmatrix}1&{\mathrm {i} }\\{\mathrm {i} }&-1\end{pmatrix}}\,.$

Das charakteristische Polynom davon ist

${}\chi _{M}=(X-1)(X+1)+1=X^{2}\,.$

Daher ist ${}0$ der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.

Zur gelösten Aufgabe