%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 14 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 8 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asechzehn}{ }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellevierzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Norm} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine \stichwort {lineare Isometrie} {} zwischen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} mit Skalarprodukt.

}{Ein \stichwort {Minkowski-Raum} {.}

}{Die \stichwort {Äquivalenzklasse} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$.

}{\stichwort {Orientierungsgleiche Basen} {} auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.

}{Eine \stichwort {spaltenstochastische} {} Matrix. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.}{Der \stichwort {Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen} {.}}{Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beweise den Satz, dass jede \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{} des $\R^3$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $1$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {} mit Hilfe des Skalarproduktes.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass $V$ eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } \\ { \frac{ 3 }{ 2 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Aut} \, \Z}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{14 (3+2+2+7)}
{

Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die \definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }

a) Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b' }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

c) Es sei $M$ die Menge der \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M } {z} { [ (z,1)] } {.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

d) Definiere auf $M$ \zusatzklammer {aus Teil c} {} {} eine \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} $+$ derart, dass $M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2) }
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2 }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ G }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ein Element mit endlicher \definitionsverweis {Ordnung}{}{.} Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mathl{d \in \N_+}{} übereinstimmt, zu dem es einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \Z/(d) } {G } {} gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $U$ und
\mathbed {v_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in
\mathl{V}{.} Zeige, dass die Gesamtfamilie
\mathl{u_i, i \in I, v_j, j \in J}{,} genau dann eine Basis von $V$ ist, wenn
\mathbed {[v_j]} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Basis des \definitionsverweis {Restklassenraumes}{}{} $V/U$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{

Es sei $Q$ das Quadrat im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. }{Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis. }{Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {U \oplus W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} mit einer \definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \psi \oplus \theta }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{} ist, wenn sowohl \mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {} asymptotisch stabil sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Berechne in
\mathl{\R^3 \otimes_{ \R } \R^2}{} das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\-7 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbdisp {} { { V }^{ * } \otimes V } { K } {} gibt, die
\mathl{f \otimes v}{} auf
\mathl{f(v)}{} abbildet.

}
{} {}