Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 14 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 8 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Norm} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {lineare Isometrie} {} zwischen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {} mit Skalarprodukt.
}{Ein \stichwort {Minkowski-Raum} {.}
}{Die
\stichwort {Äquivalenzklasse} {}
zu einem Element
\mathl{x \in M}{} in einer Menge $M$ mit einer
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$.
}{\stichwort {Orientierungsgleiche Basen} {} auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$.
}{Eine \stichwort {spaltenstochastische} {} Matrix. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.}{Der \stichwort {Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen} {.}}{Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz, dass jede \definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{} des $\R^3$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den \stichwort {Satz des Pythagoras} {} mit Hilfe des Skalarproduktes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine
\definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $V$ eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Der $\R^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass
\mathl{\begin{pmatrix} { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } \\ { \frac{ 3 }{ 2 } } \end{pmatrix}}{} ein Beobachtervektor ist
und bestimme die Raumkomponente dazu.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Aut} \, \Z}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{14 (3+2+2+7)}
{
Betrachte auf $\Z \times (\Z \setminus \{0\})$ die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d),\, \text{ falls } ad = bc \text{ ist}} { . }
a) Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
b) Zeige, dass es zu jedem $(a,b)$ ein äquivalentes Paar $(a',b')$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b'
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Es sei $M$ die Menge der
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\Z} {M
} {z} { [ (z,1)]
} {.}
Zeige, dass $\varphi$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist.
d) Definiere auf $M$
\zusatzklammer {aus Teil c} {} {}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
$+$ derart, dass
$M$ mit dieser Verknüpfung und mit $[(0,1)]$ als neutralem Element eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird, und dass für die Abbildung $\varphi$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(z_1 + z_2)
}
{ =} {\varphi(z_1) + \varphi(z_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_1,z_2
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element mit endlicher
\definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
Zeige, dass die Ordnung von $g$ mit dem minimalen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt, zu dem es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \Z/(d) } {G
} {}
gibt, in dessen Bild das Element $g$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ und
\mathbed {v_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in
\mathl{V}{.} Zeige, dass die Gesamtfamilie
\mathl{u_i, i \in I, v_j, j \in J}{,} genau dann eine Basis von $V$ ist, wenn
\mathbed {[v_j]} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Basis des
\definitionsverweis {Restklassenraumes}{}{}
$V/U$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es sei $Q$ das Quadrat im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
}{Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
}{Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \oplus \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{}
ist, wenn sowohl
\mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {}
asymptotisch stabil sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Berechne in
\mathl{\R^3 \otimes_{ \R } \R^2}{} das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\-7 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit dem
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{.} Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {} { { V }^{ * } \otimes V } { K
} {}
gibt, die
\mathl{f \otimes v}{} auf
\mathl{f(v)}{} abbildet.
}
{} {}