Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	6	3	2	14	4	8	5	5	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Norm in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.
2. Eine lineare Isometrie zwischen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ mit Skalarprodukt.
3. Ein Minkowski-Raum.
4. Die Äquivalenzklasse zu einem Element ${}x\in M$ in einer Menge ${}M$ mit einer Äquivalenzrelation ${}\sim$.
5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Eine spaltenstochastische Matrix.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass jede eigentliche Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ einen Eigenvektor zum Eigenwert ${}1$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz des Pythagoras mit Hilfe des Skalarproduktes.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zeige, dass ${}V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Automorphismengruppe ${}\operatorname {Aut} \,\mathbb {Z}$.

Aufgabe * (14 (3+2+2+7) Punkte)

Betrachte auf ${}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})$ die Relation

$(a,b)\sim (c,d),\,{\text{ falls }}ad=bc{\text{ ist}}.$

a) Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeige, dass es zu jedem ${}(a,b)$ ein äquivalentes Paar ${}(a',b')$ mit ${}b'>0$ gibt.

c) Es sei ${}M$ die Menge der Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation. Wir definieren eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow M,\,z\longmapsto [(z,1)].$

Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

d) Definiere auf ${}M$ (aus Teil c) eine Verknüpfung ${}+$ derart, dass ${}M$ mit dieser Verknüpfung und mit ${}[(0,1)]$ als neutralem Element eine Gruppe wird, und dass für die Abbildung ${}\varphi$ die Beziehung

${}\varphi (z_{1}+z_{2})=\varphi (z_{1})+\varphi (z_{2})\,$

für alle ${}z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z}$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von ${}g$ mit dem minimalen ${}d\in \mathbb {N} _{+}$ übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} /(d)\longrightarrow G$

gibt, in dessen Bild das Element ${}g$ liegt.

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}U$ und ${}v_{j}$, ${}j\in J$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass die Gesamtfamilie ${}u_{i},i\in I,v_{j},j\in J$, genau dann eine Basis von ${}V$ ist, wenn ${}[v_{j}]$, ${}j\in J$, eine Basis des Restklassenraumes ${}V/U$ ist.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei ${}Q$ das Quadrat im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$.

1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

${}V=U\oplus W\,$

eine direkte Summenzerlegung eines endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraumes und es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus mit einer direkten Summenzerlegung

${}\varphi =\psi \oplus \theta \,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann asymptotisch stabil ist, wenn sowohl ${}\psi$ als auch ${}\theta$ asymptotisch stabil sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne in ${}\mathbb {R} ^{3}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ das Tensorprodukt

${\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}3\\-7\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$. Zeige, dass es eine Linearform

${V}^{*}\otimes V\longrightarrow K$

gibt, die ${}f\otimes v$ auf ${}f(v)$ abbildet.