Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition

Tensorprodukt von Vektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}K$-Vektorräume. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ (mit ${}v_{i}\in V_{i}$) erzeugte ${}K$-Vektorraum (wir schreiben die Basiselemente als $e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$). Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}re_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},rv_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,
2. ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}-e_{(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$,

erzeugte ${}K$-Untervektorraum von ${}F$. Dann nennt man den Restklassenraum ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{K}V_{2}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$

bezeichnet.