Kurs:Lineare Algebra/Teil II/5/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	4	8	3	3	4	4	3	2	5	1	10	2	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein euklidischer Vektorraum.
2. Eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.
3. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
4. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
5. Der Spektralradius zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$.

6. Die aus einer ${}K$- linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   durch einen Körperwechsel ${}K\subseteq L$ gewonnene ${}L$-lineare Abbildung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
2. Der Satz über die (Norm)-Charakterisierung für normale Endomorphismen.
3. Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}u,v\in V$ von ${}0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt. Zeige, dass der Winkel zu ${}u$ und ${}v$ mit dem Winkel zu ${}su$ und ${}tv$ übereinstimmt, wobei ${}s,t$ positive reelle Zahlen sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem Vektorraum ${}V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein normaler Endomorphismus. Zeige

${}\operatorname {kern} \varphi =\operatorname {kern} {\hat {\varphi }}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Die Kugeloberfläche ${}K$ wird im ${}\mathbb {R} ^{3}$ als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung

${}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\,$

beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$

die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix

${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild ${}\varphi (K)$ beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde ${}\varphi (K)$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf ${}G$, die durch

$x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}$

erklärt ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(N)$ eines Normalteilers ${}N\subseteq H$ ein Normalteiler in ${}G$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}6\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe * (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Würfel, dessen Ecken die Punkte ${}{\begin{pmatrix}\pm 1\\\pm 1\\\pm 1\end{pmatrix}}$ sind.

1. Man gebe eine Matrixbeschreibung ${}M$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale (also die Gerade durch den Punkt ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$) beschreibt, die den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$ in den Eckpunkt ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}$ überführt.
2. Man gebe eine Matrixbeschreibung ${}N$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um ${}180$ Grad um die (ebene) Diagonale der ${}x-y$-Ebene beschreibt.
3. Berechne ${}M\circ N$ und bestimme die Drehachse.
4. Berechne ${}N\circ M$ und bestimme die Drehachse.
5. Bestimme die Determinante von ${}M,N,M\circ N$ und ${}N\circ M$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle die Adjazenzmatrix zum gerichteten Graphen rechts.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt ${}{\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}}\wedge {\begin{pmatrix}3\\5\\-6\end{pmatrix}}$ in der Standardbasis von ${}\bigwedge ^{2}\mathbb {R} ^{3}$ aus.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über dem Körper ${}K$ und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Es sei

$\bigwedge ^{m}\varphi \colon \bigwedge ^{m}V\longrightarrow \bigwedge ^{m}V$

das ${}m$-te Dachprodukt von ${}\varphi$. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ linear unabhängige Eigenvektoren zu ${}\varphi$ zu den Eigenwerten ${}a_{1},\ldots ,a_{m}$. Zeige, dass ${}a_{1}\cdots a_{m}$ ein Eigenwert von ${}\bigwedge ^{m}\varphi$ ist.