Kurs:Lineare Algebra/Teil II/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 10 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {euklidischer} {} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Eine \stichwort {Kathete} {} in einem rechtwinkligen Dreieck.
}{Eine \stichwort {zyklische} {} Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Der \stichwort {Spektralradius} {} zu einem Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die aus einer
$K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
\stichwort {durch einen Körperwechsel} {}
\mathl{K \subseteq L}{}
\stichwort {gewonnene} {}
$L$-lineare Abbildung.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.}{Der Satz über die \zusatzklammer {Norm} {} {-}Charakterisierung für normale Endomorphismen.}{Der Satz über Basen in einem Dachprodukt.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
Es seien \mathkor {} {P=\left( \frac{3}{4} , \, -1 \right)} {und} {Q= \left( 2 , \, \frac{1}{5} \right)} {} zwei Punkte im $\R^2$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in
a) der euklidischen Metrik,
b) der Summenmetrik,
c) der Maximumsmetrik.
d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{u,v \in V}{} von $0$ verschiedene Vektoren in einem reellen Vektorraum $V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
Zeige, dass der Winkel zu
\mathkor {} {u} {und} {v} {}
mit dem Winkel zu
\mathkor {} {su} {und} {tv} {}
übereinstimmt, wobei $s,t$ positive reelle Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz des Thales.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die
\definitionsverweis {Nullform}{}{}
ist, für die aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v \in V}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \operatorname{kern} \hat{ \varphi }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Die Kugeloberfläche $K$ wird im $\R^3$ als Nullstellenmenge der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+z^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}} { }
beschrieben werde. Durch welche quadratische Form kann das Bild
\mathl{\varphi(K)}{} beschrieben werden? Wie nennt man das geometrische Gebilde
\mathl{\varphi(K)}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}(N)}{} eines
\definitionsverweis {Normalteilers}{}{}
\mathl{N \subseteq H}{} ein Normalteiler in $G$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die beiden
\definitionsverweis {Basen}{}{}
des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 6 \\-5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\4 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Wir betrachten im $\R^3$ den Würfel, dessen Ecken die Punkte
\mathl{\begin{pmatrix} \pm 1 \\ \pm 1 \\ \pm 1 \end{pmatrix}}{} sind.
\aufzaehlungfuenf{Man gebe eine Matrixbeschreibung $M$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um die Raumdiagonale
\zusatzklammer {also die Gerade durch den Punkt
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}{}} {} {}
beschreibt, die den Eckpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \end{pmatrix}}{} in den Eckpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\- 1 \\ 1 \end{pmatrix}}{} überführt.
}{Man gebe eine Matrixbeschreibung $N$ bezüglich der Standardbasis, die die Drehung des Würfels um $180$ Grad um die
\zusatzklammer {ebene} {} {}
Diagonale der $x-y$-Ebene beschreibt.
}{Berechne
\mathl{M\circ N}{} und bestimme die Drehachse.
}{Berechne
\mathl{N\circ M}{} und bestimme die Drehachse.
}{Bestimme die Determinante von
\mathl{M,N, M\circ N}{} und
\mathl{N\circ M}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Digraph example.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Digraph example.svg } {} {MasterMatt} {Commons} {gemeinfrei} {}
Erstelle die \definitionsverweis {Adjazenzmatrix}{}{} zum gerichteten Graphen rechts.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Drücke das
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 2 \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -6 \end{pmatrix}}{} in der Standardbasis von
\mathl{\bigwedge^2 \R^3}{} aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\bigwedge^m \varphi} {\bigwedge^m V } { \bigwedge^m V
} {}
das $m$-te
\definitionsverweis {Dachprodukt}{}{}
von $\varphi$. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{} \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$ zu den
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{}
\mathl{a_1 , \ldots , a_m}{.} Zeige, dass
\mathl{a_1 \cdots a_m}{} ein Eigenwert von $\bigwedge^m \varphi$ ist.
}
{} {}