Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 12 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 12 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 10 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 64 }
\renewcommand{\avierzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwoelf
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Orthogonalbasis} {} in einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.}
}{Eine \stichwort {eigentliche} {} Isometrie \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein
\stichwort {normaler} {}
Endomorphismus
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Die \stichwort {Linksnebenklasse von} {} $x$ in einer Gruppe $G$ bezüglich einer Untergruppe $H \subseteq G$.
}{Ein \stichwort {orientierter} {} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Ein \stichwort {stabiler} {} Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Spektralsatz für komplexe Isometrien} {.}}{Der Satz über die Untergruppen von $\Z$.}{Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (2+2+1+1+1+5)}
{
Der $\R^n$ sei mit der
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} { \Vert { v } \Vert_{\rm max}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {Mv} \Vert
}
{ =} { \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{v \in \R^n}{.} Eine solche Matrix nennen wir
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch.
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass eine
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
}{Zeige, dass die Menge der
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrischen Matrizen eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {allgemeinen linearen Gruppe}{}{}
bildet.
}{Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist.
}{Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die $1$ jeweils ein $+$ oder ein $-$-Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine $3 \times 3$-Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich $1$ ist.
}{Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrisch ist.
}{Zeige, dass jede
\mathl{\Vert {-} \Vert_{\rm max}}{-}isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit Skalarprodukt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (2+3+2+2+2+1)}
{
Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte
$\begin{pmatrix} -1 \\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}$
gegeben ist.
\aufzaehlungsechs{Bestimme den Umfang des Dreiecks.
}{Bestimme eine ganze Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen
\mathkor {} {n} {und} {n+1} {}
liegt.
}{Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} -1 \\1 \end{pmatrix}}{.}
}{Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}{Bestimme den
\definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{}
zur Höhe durch den Eckpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}{Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Matrix, die zur Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5-3 { \mathrm i} & 7 { \mathrm i} \\ 0 & 17 & 1- { \mathrm i} \\ 1+ { \mathrm i} & 6 { \mathrm i} & 5-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {adjungierte Abbildung}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10 (1+3+2+2+2)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[X]}{} der Polynomring in der einen Variablen $X$ über $K$. Zu einem Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} und einer Linearform
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} {aX+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet
\mathdisp {P { \frac{ L }{ X } }} { }
das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von $X$ in $P$ durch
\mathl{aX+b}{} ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation $\sim$ auf
\mathl{K[X]}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \sim} {Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls es eine Linearform
\mathbed {aX+b} {mit}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {P { \frac{ aX+b }{ X } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {{ \left( 3X^2-4X+7 \right) } { \frac{ 3X-5 }{ X } }} { . }
}{Zeige, dass durch $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
gegeben ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Polynom einen
\definitionsverweis {Repräsentanten}{}{}
$Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(0)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Polynom
\mathl{\neq 0}{} einen
\definitionsverweis {normierten}{}{}
Repräsentanten besitzt.
}{Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms $P \neq 0$ nur von der Äquivalenzklasse
\mathl{[P]}{} abhängt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz von Lagrange.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass $\{P\}$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {spaltenstochastische Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 4 } } \\ { \frac{ 2 }{ 3 } } & { \frac{ 3 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das minimale $n$ derart, dass in der $n$-ten Potenz $M^n$ die Differenz der ersten zur zweiten Spalte
\mathl{\leq { \frac{ 1 }{ 1000 } }}{} bezüglich der Maximumsnorm des $\R^2$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Was versteht man in der Mathematik unter \stichwort {Modellierung} {?} Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen \zusatzklammer {und wofür} {} {} auffassen?
}
{} {}