Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 27/latex
\setcounter{section}{27}
In der letzten Vorlesung haben wir die Haupträume zu einem Eigenwert $\lambda$ zu einem Endomorphismus $\varphi$ als Kern von
\mathl{{ \left( \varphi- \lambda
\operatorname{Id} \right) }^k}{} für einen hinreichend großen Exponenten eingeführt. Dies bedeutet insbesondere, dass wenn man
\mathl{\varphi- \lambda
\operatorname{Id}}{} auf den zugehörigen Hauptraum einschränkt, dann eine gewisse Potenz davon die Nullabbildung ist. Hier untersuchen wir generell Endomorphismen mit der Eigenschaft, dass eine gewisse Potenz davon die Nullabbildung ist.
\zwischenueberschrift{Nilpotente Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn es eine natürliche Zahl $n$ derart gibt, dass die $n$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^n
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {quadratische Matrix}{}{}
$M$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^n
}
{ =} { \underbrace {M \circ \cdots \circ M}_{n\text{-mal} }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{,}
bei der alle Diagonalelemente $0$ seien. $M$ hat also die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & * & \cdots & \cdots & * \\ 0 & 0 & * & \cdots & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & * \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
Dann ist $M$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{,}
und zwar bewegt sich mit jedem Potenzieren die $0$-Hauptdiagonale nach rechts oben. Wenn man nämlich beispielsweise das Produkt für die $i$-te Zeile und die $j$-te Spalte mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq} {j-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausrechnet, so kommt in den Teilprodukten stets eine $0$ vor und das Ergebnis ist $0$.
}
\inputbeispiel{}
{
Ein Spezialfall zu
Beispiel 27.3
ist die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { . }
Eine wichtige Beobachtung dabei ist, dass unter dieser Abbildung $e_n$ auf
\mathl{e_{n-1}}{} abgebildet wird, $e_{n-1}$ auf
\mathl{e_{n-2}}{} und schließlich $e_2$ auf $e_1$, welches auf $0$ abgebildet wird. Die $(n-1)$-te Potenz der Matrix bildet $e_n$ auf $e_1$ ab und ist nicht die Nullmatrix, die $n$-te Potenz der Matrix ist die Nullmatrix.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zu einem
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt der
\definitionsverweis {Hauptraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft, dass die Einschränkung von
\mathl{\varphi- \lambda
\operatorname{Id}_{ V }}{} auf $H$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
}{Für jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^k (v)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^k (v_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} von $V$ und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^k (v_i)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Von (1) nach (2) ist klar. Von (2) nach (3). Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Basis
\zusatzklammer {oder ein endliches Erzeugendensystem} {} {}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_j
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{k_j} (v_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Dann erfüllt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ \defeq} { {\max { \left( k_j , j = 1 , \ldots , m \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Eigenschaft für jeden Erzeuger. Von (3) nach (4) ist klar. Von (4) nach (1). Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Linearität von $\varphi^k$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^k (v)
}
{ =} { \varphi^k { \left( \sum_{i = 1}^m a_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m a_i \varphi^k( v_i )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^k
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ ist eine Potenz von $X$.
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu $\varphi$ ist eine Potenz von $X$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich unmittelbar aus den Definitionen, die Äquivalenz von (2) und (3) ergibt sich aus Lemma 24.5.
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}}
\faktzusatz {und zwar gibt es eine Basis, bezüglich der $\varphi$ durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird, in der alle Diagonaleinträge $0$ sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 27.7 und Satz 25.9.
\zwischenueberschrift{Die Jordanzerlegung zu einem nilpotenten Endomorphismen}
Für einen nilpotenten Endomorphismus $\varphi$ auf $V$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { \operatorname{Haupt}_{ 0 } (\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
es gibt also nur einen Hauptraum, und dieser ist der Gesamtraum. Wir werden jetzt zeigen, dass man eine beschreibende Matrix weiter
\zusatzklammer {über die Dreiecksgestalt hinaus} {} {}
verbessern kann. In der nächsten Vorlesung werden wir diese Verbesserung bei einem trigonalisierbaren Endomorphismus auf den einzelnen Haupträumen durchführen und so zur sogenannten Jordanschen Normalform gelangen.
\inputbeispiel{}
{
Eine Matrix der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat bezüglich der Basis
\mathkor {} {a e_1} {und} {e_2} {}
die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} { . }
}
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Untervektorräumen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \varphi^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1 } (V_i)
}
{ =} { V_{i+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Inklusionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ \subset} { V_{i+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind echt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ < }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ V_{i+1}
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi^{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
äquivalent zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(v)
}
{ \in }{ V_i
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} {V_{i+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ < }{s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen. Durch Anwendung von $\varphi^{-1}$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{i+1}
}
{ =} { \varphi^{-1}(V_i)
}
{ =} { \varphi^{-1}(V_{i+1})
}
{ =} { V_{i+2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Weise erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { V_{i+1}
}
{ =} { V_{i+2}
}
{ =} { \ldots
}
{ =} { V_{ s }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
im Widerspruch zur Minimalität von $s$.
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_j)
}
{ =} { v_{j-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_j)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft. Wir betrachten die Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \varphi^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{U_s}{} ein direktes Komplement zu
\mathl{V_{s-1}}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { V_{s-1} \oplus U_s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
Lemma 27.10
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1} (V_{s-2})
}
{ =} { V_{s-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U_s) \cap V_{s-2}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gibt es einen Untervektorraum
\mathl{U_{s-1}}{} von
\mathl{V_{s-1}}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{s-1}
}
{ =} { V_{s-2} \oplus U_{s-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U_{s})
}
{ \subseteq} { U_{s-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In dieser Weise erhält man Untervektorräume
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_i
}
{ \subseteq }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { V_{i-1} \oplus U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(U_i)
}
{ \subseteq} {U_{i-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U_1 \oplus \cdots \oplus U_{s}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja jeweils die vorhergehende direkte Summenzerlegung zunehmend verfeinert wird. Des weiteren ist $\varphi$ eingeschränkt\zusatzfussnote {Die Einschränkung als Abbildung nach $V$
- die $U_i$ sind im Allgemeinen nicht $\varphi$-invariant} {.} {}
auf $U_i$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
injektiv. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ U_i \cap \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ U_i \cap V_1
}
{ \subseteq }{ U_i \cap V_{i-1}
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ja wegen der Direktheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir konstruieren nun eine Basis wie gewünscht. Dazu wählen wir zuerst eine Basis
\mathl{\mathfrak{ u }_s}{} von $U_s$. Das
\zusatzklammer {linear unabhängige} {} {}
Bild
\mathl{\varphi ( \mathfrak{ u }_s)}{} ergänzen wir zu einer Basis
\mathl{\mathfrak{ u }_{s-1}}{} von
\mathl{U_{s-1}}{} und so weiter. Die Vereinigung dieser Basen ist dann eine Basis von $V$. Die Basiselemente aus
\mathl{\mathfrak{ u }_i}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
werden nach Konstruktion auf andere Basiselemente abgebildet und die Basiselemente aus
\mathl{\mathfrak{ u }_1}{} auf $0$. Um eine Reihenfolge festzulegen, wählen wir ein Basiselement aus
\mathl{\mathfrak{ u }_s}{,} gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, sodann ein weiteres Basiselement aus
\mathl{\mathfrak{ u }_s}{,} gefolgt von all seinen sukzessiven Bildern, bis
\mathl{\mathfrak{ u }_s}{} aufgebraucht ist. Dann arbeitet man
\mathl{\mathfrak{ u }_{s-1}}{} in der gleichen Weise ab. In einem letzten Schritt vertauscht man die Reihenfolge der soeben konstruierten Basiselemente.
\inputfaktbeweis
{Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 0 & c_2 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & c_{n-2} & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & c_{n-1}\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { }
besitzt, wobei die $c_i$ gleich $0$ oder gleich $1$ sind.}
\faktzusatz {D.h., dass $\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 27.11.
Bei einer nilpotenten Abbildung auf einem zweidimensionalen Vektorraum $V$ handelt es sich um die Nullabbildung oder um eine nilpotente Abbildung mit einem eindimensionalen Kern. Im letzteren Fall erhält man für jedes Element
\mathl{v \in V \setminus \operatorname{kern} \varphi}{} eine Basis
\mathl{\varphi(v),v}{}
\zusatzklammer {in dieser Reihenfolge} {} {,}
bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathl{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}}{} besitzt. Bei zunehmender Dimension werden die Möglichkeiten zunehmend zahlreicher und komplexer, wir besprechen abschließend typische Beispiele in der Dimension drei.
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen
Lemma 27.11
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
anwenden. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {V_1= \operatorname{kern} M = \langle e_1 \rangle ,\, V_2 = \operatorname{kern} M^2 = \langle e_1, e_2 \rangle \text{ und }V_3=K^3} { . }
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_3
}
{ =} {V_2 \oplus \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_3
}
{ =} { \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wählen können. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Me_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\5\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ \in} {V_2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_2
}
{ =} { V_1 \oplus U_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\5\\ 0 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 e_3
}
{ =} {M \begin{pmatrix} 3 \\5\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\5\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 10 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 10 \\0\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis wie gewünscht.
Die inverse Matrix zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B
}
{ =} { \begin{pmatrix} 10 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 10 } } & - { \frac{ 3 }{ 50 } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{B^{-1} MB
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 10 } } & - { \frac{ 3 }{ 50 } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 10 } } & - { \frac{ 3 }{ 50 } } & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen
Lemma 27.11
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
anwenden. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {V_1= \operatorname{kern} M = \langle e_1, e_2 \rangle \text{ und }V_2=K^3} { . }
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_2
}
{ =} {V_1 \oplus \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wählen können. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Me_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\7\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ \in} {V_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\7\\ 0 \end{pmatrix} , e_1 \rangle
}
{ =} {U_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\7\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
beschrieben.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen
Lemma 27.11
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
anwenden. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {V_1= \operatorname{kern} M = \langle e_1, 7 e_2-3e_3 \rangle \text{ und }V_2=K^3} { . }
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_2
}
{ =} {V_1 \oplus \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_2
}
{ =} { \langle e_3 \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wählen können. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Me_3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 \\0\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ \in} {V_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 7 \\0\\ 0 \end{pmatrix} , 7 e_2 - 3e_3 \rangle
}
{ =} {U_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\7\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\0\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis wie gewünscht. In dieser Basis wird die lineare Abbildung durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
beschrieben.
}