Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 39/latex

\setcounter{section}{39}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$ vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p+q }
{ \leq} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf dem $\R^2$ sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} \right\rangle }
{ =} {x_1x_2 -y_1y_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} gegeben. Bestimme zu jeder Geraden $G$ durch den Nullpunkt, ob die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} der Form auf die Gerade \definitionsverweis {positiv definit}{}{,} \definitionsverweis {negativ definit}{}{} oder die \definitionsverweis {Nullform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} auf $V$ mit der Eigenschaft
\mathl{\left\langle u_i , u_i \right\rangle >0}{} für alle
\mathl{i=1 , \ldots , n}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{.} Zeige, dass die Dimension des \definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{} gleich
\mathdisp {n-p-q} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Dimension des \definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{} nicht mit der maximalen Dimension eines Untervektorraumes übereinstimmen muss, auf dem die eingeschränkte Form die Nullform ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Bilinearform ist \definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{.} }{Die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Bilinearform bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} ist \definitionsverweis {invertierbar}{}{.} }{Die Bilinearform ist vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,n-p)}{} \zusatzklammer {mit einem
\mathl{p \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}} {} {} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \\1 & 3 & 5 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $d$-dimensionaler \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ
\mathl{(p',q')}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p' }
{ \geq} {d+p-n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} reelle $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{} $A$ derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { A^{ \text{tr} } } M A }
{ =} { D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und es sei $G$ die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} bezüglich dieser Basis. Es sei \maabbeledisp {\Psi} {V} { { V }^{ * } } {v} { { \left( w \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) } } {,} die zugehörige \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} in den \definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} und es sei
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} die \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} von
\mathl{{ V }^{ * }}{.} Zeige, dass die beschreibende Matrix von $\Psi$ bezüglich der beiden Basen die \definitionsverweis {transponierte Matrix}{}{} von $G$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Zeige, dass durch die \definitionsverweis {Spur}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \times \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) } } {K } {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( A \circ B \right) } } {,} eine \definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{} gestiftet wird, dass also \mathkor {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} {und} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , V \right) }} {} in natürlicher Weise dual zueinander sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei $M$ die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur Form bezüglich einer gegebenen \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $0$ von $M$, aufgefasst als \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} von $V$ nach $V$ bezüglich dieser Basis, gleich dem \definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{} der Form ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der durch die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 7 & -1 \\ 7 & 5 & 6 \\-1 & 6 & -3 \end{pmatrix}} { }
gegebenen \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(n-q,q)}{} auf einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und es sei $G$ die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} bezüglich dieser Basis. Zeige, dass das Vorzeichen von
\mathl{\det G}{} gleich
\mathl{(-1)^q}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{} vom \definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathl{(p,q)}{} und sei $a$ die Dimension des \definitionsverweis {Ausartungsraumes}{}{} der Form. Zeige, dass es einen Untervektorraum
\mathl{U \subseteq V}{} derart gibt, dass die Einschränkung der Form die Nullform ist und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) } }
{ =} { {\min { \left( p , q \right) } } +a }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige ebenfalls, dass es keinen Untervektorrraum größerer Dimension gibt, auf dem die Einschränkung die Nullform ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit dem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * } } {K } {(v,f)} { f(v) } {,} eine \definitionsverweis {vollständige Dualität}{}{} zwischen \mathkor {} {V} {und} {{ V }^{ * }} {} stiftet.

}
{} {}