Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum.

1. Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektors wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.
2. Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.

Aufgabe *

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${}\mathbb {R} ^{n}$ auf einen ${}n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass es zu jedem Beobachtervektor ${}v\in V$ eine direkte Summenzerlegung

${}V=\mathbb {R} v\oplus (\mathbb {R} v)^{\perp }\,$

gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf ${}\mathbb {R} v$ negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf ${}(\mathbb {R} v)^{\perp }$ positiv definit ist.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {25}{24}}\\{\frac {7}{24}}\end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Die Hyperbelfunktionen werden in Analysis 1 eingeführt.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}\alpha \in \mathbb {R}$ der Vektor ${}{\begin{pmatrix}\sinh \alpha \\\cosh \alpha \end{pmatrix}}$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu ${}z\in \mathbb {R}$, ${}z\neq 0$, die Vektoren

${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}z-{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-z+{\frac {1}{z}}\\z+{\frac {1}{z}}\end{pmatrix}}$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und es seien ${}v,w$ zeitartige Vektoren. Zeige die Abschätzung

${}\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\geq \left\langle v,v\right\rangle \cdot \left\langle w,w\right\rangle \,.$

Aufgabe *

Der ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}2\\-3\\1\\4\end{pmatrix}}$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors ${}{\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}\\0\\0\\{\frac {5}{4}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Minkowski-Raum. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren in zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren ${}v,w$ genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle <0\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler Minkowski-Raum.

1. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}1$ sind.
2. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}-1$ sind.
3. Zeige, dass es eine Basis von ${}V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}0$ sind.

Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen ${}\Psi _{1}$ und ${}\Psi _{2}$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ vom Typ ${}(p,q)$. Zeige, dass die negierte Form ${}-\left\langle -,-\right\rangle$ den Typ ${}(q,p)$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ einen ${}K$-Vektorraum bilden.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,{V}^{*}\right)}\longrightarrow \operatorname {Bilin} _{}{\left(V\right)}$

gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine hermitesche Form ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ die Werte ${}\left\langle v,v\right\rangle$ zu ${}v\in V$ stets reell sind.

Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum ${}V$ genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von ${}V$ hermitesch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ${}{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {6}}{3}}\\{\frac {1}{3}}\\{\frac {4}{3}}\end{pmatrix}}$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.

Aufgabe (4 Punkte)

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}-1\\5\\2\\-3\end{pmatrix}}$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors ${}{\begin{pmatrix}0\\{\frac {5}{12}}\\0\\{\frac {13}{12}}\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

1. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}1$ sind.
2. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}-1$ sind.
3. Man gebe eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich ${}0$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n\,$

ist?

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf ${}V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf ${}V$?