Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}\mathbb {C}$- Vektorraum und es seien

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

und

$\psi \colon V\longrightarrow V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe

Bestimme den Kern der Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}}$ und den Kern der transponierten Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine bijektive winkeltreue Abbildung auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass die adjungierte Abbildung ebenfalls winkeltreu ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und einer Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$. Es seien

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

lineare Abbildungen. Zeige, dass ${}\psi$ genau dann die adjungierte Abbildung zu ${}\varphi$ ist, wenn

${}\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{i},\psi (v_{j})\right\rangle \,$

für alle ${}i,j\in I$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}{\left(\varphi +\psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}+{\hat {\psi }}\,.$

2. ${}{\left(s\varphi \right)}^{\hat {}}={\overline {s}}{\hat {\varphi }}\,.$

3. ${}{\left({\hat {\varphi }}\right)}^{\hat {}}=\varphi \,.$

4. ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\psi }}\circ {\hat {\varphi }}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Zuordnung

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto {\hat {\varphi }},$

antilinear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

lineare Abbildungen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon.

1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

   ${}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$

2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$.

1. Zeige, dass durch

   ${}\left\langle f,g\right\rangle :=\left\langle \operatorname {Grad} \,f,\operatorname {Grad} \,g\right\rangle \,$

   ein Skalarprodukt auf dem Dualraum erklärt wird.

2. Zeige, dass die natürliche Abbildung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$

   eine Isometrie zwischen ${}V$ und ${}{V}^{*}$ stiftet.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist selbstadjungiert.
2. Die Hintereinanderschaltung von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert.
3. Zu einer bijektiven selbstadjungierten Abbildung ist auch die Umkehrabbildung selbstadjungiert.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

selbstadjungiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass es zu jeder Linearform ${}f\in {V}^{*}$ einen eindeutig bestimmten Vektor ${}y\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle y,v\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ und einen eindeutig bestimmten Vektor ${}z\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle v,z\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ gibt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn die Ordnung von ${}\varphi$ gleich ${}1$ oder gleich ${}2$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$- Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

die lineare Abbildung, die bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}3&-2\\-4&7\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Matrix zum adjungierten Endomorphismus von ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&-2+9{\mathrm {i} }\\-2-9{\mathrm {i} }&5\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren von ${}\varphi$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},$

aufgefasst als lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$, nicht selbstadjungiert ist, und zwar mit den folgenden Methoden.

1. Bestimme die adjungierte Abbildung zu ${}M$.
2. Lemma 41.10  (1) ist nicht erfüllt.
3. Lemma 41.10  (3) ist nicht erfüllt.
4. Es gibt keine Orthonormalbasis von ${}\mathbb {R} ^{2}$ aus Eigenvektoren zu ${}M$ (d.h. die Konklusion aus Satz 41.11 ist nicht erfüllt.)