Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}\varphi$-invarianten Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist auch das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ${}\varphi$-invariant.
2. Alle Eigenwerte sind reell.
3. Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann zerfällt das charakteristische Polynom zu ${}\varphi$ in Linearfaktoren.

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