Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 53/latex
\setcounter{section}{53}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale normierte
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Hom}_{ } { \left( V , W \right) }}{} in der Tat eine
\definitionsverweis {Norm}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es einen Vektor
\mathbed {v \in V} {}
{\Vert {v} \Vert =1} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v) } \Vert
}
{ =} { \Vert {\varphi} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}} { }
\aufzaehlungdrei{die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
die
\definitionsverweis {Summennorm}{}{,}
und die
\definitionsverweis {euklidische Norm}{}{,}
}{die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\R^2$ in allen Kombinationen,
}{die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spaltensummennorm}{}{}
auf dem Matrizenraum
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } ({\mathbb K})}{} gleich der Maximumsnorm im Sinne von
Definition 53.1
ist, wenn man die Räume ${\mathbb K}^n$ und ${\mathbb K}^m$ mit der Summennorm versieht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R^2 } {(x,y)} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } {,} wobei der $\R^2$ mit der \definitionsverweis {euklidischen Norm}{}{} versehen sei. Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,} die \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} und die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $\varphi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^n} {\R } { (x_1 , \ldots , x_{ n }) } { \sum_{i = 1}^n a_i x_i } {,} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} $\neq 0$. Bestimme einen Vektor $v \in \R^n$ auf der \definitionsverweis {abgeschlossenen Kugel}{}{} mit Mittelpunkt $0$ und Radius $1$, an dem die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { B \left( 0,1 \right) } {\R } {v} { \betrag { \varphi(v) } } {,} ihr \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt. Bestimme die \definitionsverweis {Norm}{}{} von $\varphi$.
}
{} {}
Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.} Die Abbildung heißt \definitionswort {Lipschitz-stetig}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {normierte}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {Lipschitz-stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {normierten}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
genau dann
\definitionsverweis {stark kontrahierend}{}{}
ist, wenn
\mathl{\Vert {\varphi} \Vert < 1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Endomorphismenraum}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Welche Eigenschaften einer
\definitionsverweis {Norm}{}{}
erfüllt der
\definitionsverweis {Spektralradius}{}{}
\mathl{\varphi \mapsto \rho(\varphi)}{,} welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Folge in $V$. Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich einer beliebigen
\definitionsverweis {Norm}{}{}} {} {,}
wenn für eine
\zusatzklammer {jede} {} {}
\definitionsverweis {Basis}{}{}
sämtliche Komponentenfolgen in ${\mathbb K}$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {nilpotenter Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} mit \definitionsverweis {endlicher Ordnung}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \definitionsverweis {stabil}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \oplus \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {asymptotisch stabil}{}{}
ist, wenn sowohl
\mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {}
asymptotisch stabil sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \oplus \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {stabil}{}{}
ist, wenn sowohl
\mathkor {} {\psi} {als auch} {\theta} {}
stabil sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {direkte Summenzerlegung}{}{}
eines
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {direkten Summenzerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \psi \oplus \theta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Folge $\varphi^n$ genau dann konvergiert, wenn sowohl
\mathkor {} {\psi^n} {als auch} {\theta^n} {}
konvergieren.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\\vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda^n +n \lambda^{n-1} \\\lambda^n\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{Die Folge $\varphi^n$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{.}
}{Zu jedem
\mathl{v \in V}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
die Folge
\mathbed {\varphi^n(v)} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {.}
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_m \in V}{} derart, dass
\mathbed {\varphi^n (v_j)} {}
{j = 1 , \ldots , m} {}
{} {} {} {,}
konvergiert.
}{Der Betrag eines jeden
\definitionsverweis {komplexen Eigenwerts}{}{}
von $\varphi$ ist kleiner oder gleich $1$ und falls der Betrag $1$ ist, so ist der Eigenwert selbst $1$ und
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}{Für eine beschreibende Matrix $M$ von $\varphi$, aufgefasst über ${\mathbb C}$, sind die
\definitionsverweis {Jordan-Blöcke}{}{}
der
\definitionsverweis {jordanschen Normalform}{}{}
gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}} { }
mit
\mathl{\betrag { \lambda } <1}{} oder gleich $(1)$.
}
}
{} {}
Es sei $T$ eine Menge, $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\maabbdisp {f_n} {T} {M
} {}
\zusatzklammer {$n \in \N$} {} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Man sagt, dass die Abbildungsfolge \definitionswort {punktweise konvergiert}{,} wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M_k=({(a_{ij} })_k)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}}{} eine Folge von reellen
\mathl{m\times n}{-}Matrizen und
\maabbdisp {\varphi_k} {\R^n} {\R^m
} {}
die zugehörige Folge von linearen Abbildungen. Zeige, dass die Folgen der Einträge
\mathl{({a_{ij} })_k}{} für alle
\mathl{i,j}{} genau dann konvergieren, wenn die Folge der Abbildungen
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {normierte}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ \leq} { \Vert {\varphi} \Vert \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+3+1)}
{
Berechne für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -5 & 7 \end{pmatrix}} { }
\aufzaehlungdrei{die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{,}
die
\definitionsverweis {Summennorm}{}{,}
und die
\definitionsverweis {euklidische Norm}{}{,}
}{die
\definitionsverweis {Maximumsnorm}{}{}
zu Maximumsnorm, Summennorm oder euklidischer Norm auf dem $\R^2$ in allen Kombinationen,
}{die Spaltensummennorm und die Zeilensummennorm.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} derart, dass eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
von $\varphi$ existiert. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi} \Vert
}
{ =} { {\max { \left( \betrag { \lambda } , \lambda \text{ ist Eigenwert von } \varphi \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $M$ eine
\mathl{n \times n}{-}Matrix über ${\mathbb K}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{In der
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
gibt es eine Wiederholung, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^n
}
{ =} {M^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein Zahlenpaar
\mathl{n <m}{.}
}{In der Folge
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
kommen nur endlich viele verschiedene Matrizen vor.
}{Die Folge
\mathbed {M^n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
wird letztlich
\zusatzklammer {also ab einer bestimmten Stelle} {} {}
periodisch.
}{Die
\definitionsverweis {Jordanblöcke}{}{}
zu
\mathl{M}{} über ${\mathbb C}$ haben die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
oder $(\lambda)$ mit einer
\definitionsverweis {komplexen Einheitswurzel}{}{}
$\lambda$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Die reelle Ebene $\R^2$ sei mit der \definitionsverweis {euklidischen}{}{,} der \definitionsverweis {Summen}{}{-} oder der \definitionsverweis {Maximumsmetrik}{}{} versehen. Bestimme, abhängig von der gewählten Metrik, die maximale Anzahl von Punkten $P_1 , \ldots , P_n \in \R^2$ derart, dass die Metrik auf der Teilmenge $T= \{P_1 , \ldots , P_n \}$ die \definitionsverweis {diskrete Metrik}{}{} induziert.
}
{} {}
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