Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$ die Auswertungsabbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * } } {K } {(v,f)} { f(v) } {,} bilinear ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+3 { \mathrm i} & 5-{ \mathrm i} \\ 3-2{ \mathrm i} & 4+{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \\8 & 7 & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\-1 & -1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungzwei {Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $M$. } {Bestimme die Determinante zu jeder Matrix, die entsteht, wenn man in $M$ eine Zeile und eine Spalte weglässt. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Induktion, dass bei einer \definitionsverweis {oberen Dreiecksmatrix}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch Induktion, dass bei einer \definitionsverweis {unteren Dreiecksmatrix}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ \definitionsverweis {multilinear}{}{} und \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die Multiplikation \maabbeledisp {} {K \times K = K^2} {K } {(a,b)} { a \cdot b } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist. Ist sie \definitionsverweis {alternierend}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { K^n \times K^n } { K } { (\begin{pmatrix} u_{1 } \\ \vdots\\ u_{ n } \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_{1 } \\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} ) } { (u_1 , \ldots , u_{ n }) \circ \begin{pmatrix} v_{1 } \\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien \mathkor {} {I} {und} {J} {} endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) } } {(f,g)} { f \otimes g } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \otimes g ) (i,j) }
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} und die Eigenschaft, \definitionsverweis {alternierend}{}{} zu sein, direkt für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe die \definitionsverweis {Multilinearität}{}{} und die Eigenschaft, \definitionsverweis {alternierend}{}{} zu sein, direkt für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $3\times3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für jede \definitionsverweis {Elementarmatrix}{}{} $E$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det E }
{ =} { \det { E^{ \text{tr} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linalg_parallelogram_area.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Linalg parallelogram area.png } {Nicholas Longo} {Thenub314} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren \mathkor {} {(x_1,y_1)} {und} {(x_2,y_2)} {} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten \stichwort {Parallelogramms} {} \zusatzklammer {bis auf das Vorzeichen} {} {} übereinstimmt.

$\,$

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) } }
{ =} { 1+ \det \left( M \right) - \det \left( E_2-M \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {w} {zw } {,} die zugehörige Multiplikation. Bestimme die \definitionsverweis {Determinante}{}{} dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung \maabb {} {\R^2} {\R^2 } {} auffasst.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es sei \maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_{1 j} , \ldots , v_{m_j j} }
{ \in }{ V_j }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{i j} }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi { \left( \sum_{ i = 1 }^{m_1} a_{i 1} v_{i1} , \ldots , \sum_{ i = 1 }^{m_n} a_{i n} v_{in} \right) } }
{ =} { \sum_{ (i_1 , \ldots , i_n )\in \{1 , \ldots , m_1 \} \times \cdots \times \{1 , \ldots , m_n \} } a_{i_1} \cdots a_{i_n} \Phi { \left( v_{i_1 1} , \ldots , v_{i_n n} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien
\mathbed {v_{i_j}} {}
{i_j \in I_j} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {Erzeugendensysteme}{}{} von
\mathbed {V_j} {}
{j= 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\triangle} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} durch
\mathdisp {\triangle ( v_{i_1} , \ldots , v_{i_n} )} { }
festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\triangle} {V \times V} {K } {} eine \definitionsverweis {multilineare}{}{} und \definitionsverweis {alternierende}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v,w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} u+2v \\v+3w \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {K } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } {ad+cb } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist, aber nicht \definitionsverweis {alternierend}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Ist die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {K } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } {ac-bd } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} in den Zeilen? In den Spalten?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {} {\operatorname{Mat}_{ n } (K) = (K^n)^n } {K } {M} { \det M } {,} für beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und beliebige
\mathl{n-1}{} Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_{k-1} , v_{k+1} , \ldots , v_n }
{ \in }{ K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ K^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\ s u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} }
{ =} { s \det \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v _{ k -1 }\\u\\ v _{ k +1 }\\ \vdots\\ v_{ n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit quadratischen Matrizen \mathkor {} {A} {und} {D} {} schreiben kann. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M }
{ =} { \det A \cdot \det D }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit quadratischen Matrizen \mathkor {} {A,B,C} {und} {D} {} schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M }
{ =} { \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Allgemeinen nicht gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Untersuche die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } \times V } {W } {(\varphi, v)} {\varphi(v) } {,} auf \definitionsverweis {Multilinearität}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} es seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ und es sei \maabbdisp {\Phi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W } {} eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ \left( v_1 , \, \ldots , \, v_n \right) \in V_1 \times \cdots \times V_n \mid \Phi \left( v_1 , \, \ldots , \, v_n \right) = 0 \right\} }} { }
im Allgemeinen kein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{V_1 \times \cdots \times V_n}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n }{} und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {multilinearen}{}{} Abbildungen, die mit
\mathl{\operatorname{Mult}_{ K } { \left( V_1 , \ldots , V_n , W \right) }}{} bezeichnet wird, in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} seien $ V $ und $W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller \definitionsverweis {alternierenden}{}{} Abbildungen, die mit
\mathl{\operatorname{Alt}_{ K }^{ n } { \left( V , W \right) }}{} bezeichnet wird, ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{\operatorname{Mult}_{ K } { \left( V , \ldots , V , W \right) }}{} \zusatzklammer {wobei der Vektorraum $V$ $n$-fach auftritt} {} {} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} sei eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei \maabbdisp {\triangle} {W^m} {K } {} eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die verknüpfte Abbildung \maabbeledisp {} {V^m} {K } { (v_1 , \ldots , v_{ m }) } { \triangle \left( \varphi(v_1) , \, \ldots , \, \varphi(v_m) \right) } {,} multilinear ist. Zeige ebenfalls, dass wenn $\triangle$ \definitionsverweis {alternierend}{}{} ist, dass dann auch $\triangle \circ \varphi^n$ alternierend ist, und dass hiervon bei $\varphi$ bijektiv auch die Umkehrung gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{ V_1 , \ldots , V_n, W_1 , \ldots , W_n }{} und $Z$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} und sei \maabbdisp {\pi} {W_1 \times \cdots \times W_n} {Z } {} eine \definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\pi \circ (\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n )} {V_1 \times \cdots \times V_n} {Z } {(v_1 , \ldots , v_n) } { \pi ( \varphi_1(v_1) , \ldots , \varphi_n(v_n) ) } {,} ebenfalls multilinear ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne zur \zusatzklammer {komplexen} {} {} \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} & 2 { \mathrm i} & 3 \\ 0 & 1- { \mathrm i} & -1+3 { \mathrm i} \\4- { \mathrm i} & 0 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} und die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} x^2+x & -x \\ -x^3+2x^2+5x-1 & x^2-x \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (\Q) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es egal ist, ob man die \definitionsverweis {Determinante}{}{} in $\Q$, in $\R$ oder in ${\mathbb C}$ ausrechnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} der \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} & 5 \\ { \mathrm i} & 1 & 3- { \mathrm i} \\2 { \mathrm i} & -4- { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die Determinante der Matrix
\mathdisp {A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 4 & -3 \\ 2 & -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K } {} eine \definitionsverweis {multilineare}{}{} und \definitionsverweis {alternierende}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v,w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} u+v+w \\2u+3z\\ 4w-5z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen und vereinfache.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i } {K } {} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {,} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass dann die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {V_{1} \times \cdots \times V_{n} } {K } {{ \left( v_1 , \ldots , v_n \right) }} { \varphi_1(v_1) { \cdots } \varphi_n(v_n) } {,} \definitionsverweis {multilinear}{}{} ist.

}
{} {}