- Die Determinante
Kann man einer quadratischen
-Matrix „auf einen Blick“ ansehen, ob sie
invertierbar
ist? Gibt es einen Ausdruck in den
Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet.
Es sei
ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
-

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine
kann man die Determinante einfach ausrechnen.
Als Merkregel für eine

-Matrix verwendet man die
Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.
Für eine obere Dreiecksmatrix
-

ist
-

Insbesondere ist für die
Einheitsmatrix
.
Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der
Determinante.

- Multilineare und alternierende Abbildungen
Wir führen zwei Begriffe ein, die wir im Moment hauptsächlich zum weiteren Verständnis der Determinante brauchen.
Es sei
ein Körper und seien
und
Vektorräume
über
. Eine
Abbildung
-
heißt multilinear, wenn für jedes
und jedes
-Tupel
mit
die induzierte Abbildung
-
-linear
ist.
Bei
spricht man auch von bilinear. Beispielsweise sind die Multiplikation in einem Körper
, also die Abbildung
-
und zu einem
-Vektorraum
mit
Dualraum
die Auswertungsabbildung
-
bilinear.
Es sei
ein
Körper
und seien
und
Vektorräume
über
Es sei
-
eine
multilineare Abbildung
und es seien
und
.
Dann ist
-

Beweis
Bei einer alternierenden Abbildung muss an jeder Stelle der gleiche Vektorraum stehen.
Es sei
ein
Körper,
und
seien
-Vektorräume
und sei
. Es sei
-
eine
alternierende Abbildung.
Dann gilt
-

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.
Aufgrund der Definition von alternierend und
Lemma 16.6
gilt


- Die Determinante ist eine alternierende Abbildung
Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung
-

vornimmt, bei der einer Matrix das
-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel
-
auf, wobei die einzelnen Einträge
Zeilenvektoren der Länge
sind.
Es sei
ein Körper und
.
Dann ist die
Determinante
-
multilinear.
D.h., dass für jedes
,
für je
Vektoren
und für
die Gleichheit
-

und für
die Gleichheit
-

gilt.
Seien
-
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also
und
. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach
, wobei der Fall
klar ist. Für
ist
und
-

nach Induktionsvoraussetzung. Für
ist
und es ist
.
Insgesamt ergibt sich

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe
Aufgabe 16.21.

Es sei
ein Körper und
.
Dann ist die
Determinante
-
alternierend.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über
, wobei es für
nichts zu zeigen gibt. Sei also
und
.
Die relevanten Zeilen seien
und
mit
.
Nach Definition ist
.
Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei
für
, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
-

wobei
ist. Die beiden Matrizen
und
haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile
in
als die
-te Zeile und in
als die
-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt
Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man
in
überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und
Lemma 16.8
unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor
, also ist
.
Setzt man dies oben ein, so erhält man


Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut üerblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl
multipliziert, so muss man die Determinante auch mit
multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile
(oder ein Vielfaches davon)
zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.
