Kann man einer quadratischen -Matrix „auf einen Blick“ ansehen, ob sie
invertierbar
ist? Gibt es einen Ausdruck in den Einträgen der Matrix, mit dem man dies entscheiden kann? Diese Frage wird positiv durch die Determinante beantwortet.
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über . Zu
sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine kann man die Determinante einfach ausrechnen.
wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also
und
. Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach , wobei der Fall klar ist. Für
ist
und
nach Induktionsvoraussetzung. Für
ist
und es ist
.
Insgesamt ergibt sich
Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe
Aufgabe 16.21.
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über , wobei es für
nichts zu zeigen gibt. Es sei also
und
.
Die relevanten Zeilen seien
und
mit
.
Nach Definition ist
.
Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei
für , da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist
wobei
ist. Die beiden Matrizen
und
haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile
in als die -te Zeile und in als die -te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man in überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und
Lemma 16.8
unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor , also ist
.
Setzt man dies oben ein, so erhält man
Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut üerblicken, wie sich die Determinate bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl multipliziert, so muss man die Determinante auch mit multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile
(oder ein Vielfaches davon)
zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.
Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in
Korollar 12.16
gezeigt.
Es seien die Zeilen
linear abhängig.
Wir können nach Zeilenvertauschungen annehmen, dass
ist. Dann ist nach
Satz 16.9
und
Satz 16.10
Es seien nun die Zeilen linear unabhängig. Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren. Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von verschiedenen Faktor. Da die Determinante der Einheitsmatrix ist, muss auch die Determinante der Ausgangsmatrix sein.
Bei
steht die
Determinante
in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten. Wenn man im Vektoren betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf. Dieses ist definiert als
Es besteht also aus allen
Linearkombinationen
der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen „voluminösen“ Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor. Es gilt nun die Beziehung
d.h. das Volumen des Parallelotops ist der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt.