Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex

\setcounter{section}{18}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }

\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {endliche Permutation}{}{} durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {7} {3} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} $\sigma$ mit \wertetabellezehnausteilzeilen { $P$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundfuenf {6} {7} {8} {9} {10 } }
{ $\sigma(P)$ }
{\mazeileundfuenf {7} {10} {3} {9} {5} }
{\mazeileundfuenf {2} {4} {1} {8} {6 } } die Potenzen $\sigma^2$ und $\sigma^3$. Bestimme die \definitionsverweis {Zyklendarstellung}{}{} für diese drei Permutationen an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die Permutation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tau }
{ \in }{ S_7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die durch die Wertetabelle \wertetabellesiebenausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileundzwei {6} {7} }
{ $\tau (x)$ }
{\mazeileundfuenf {1} {3} {5} {7} {6} }
{\mazeileundzwei {4} {2 } } gegeben ist. \aufzaehlungvier{Man gebe die Zyklendarstellung von $\tau$ an und bestimme den Wirkungsbereich. }{Berechne $\tau^3$ und die Ordnung von $\tau^3$. }{Bestimme die Fehlstände von $\tau$ und das Vorzeichen \zusatzklammer {Signum} {} {} von $\tau$. }{Schreibe $\tau$ als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von $\tau$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die beiden Permutationen \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {3} {7} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {5} {2} {8} {6} }
{\mazeileunddrei {7} {1} {3} } Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{} von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} } gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in sich selbst. \aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2 }
{ = }{ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3 }
{ = }{ F \circ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} sind. }{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch die Zuordnung \maabbeledisp {} { S_n \times \{1 , \ldots , n+1\} } { S_{n+1} } { (\varphi,x) } { \tilde{ \varphi} } {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi} (k) }
{ =} { \begin{cases} \varphi(k) \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) < x \, , \\ \varphi(k)+1 \text{ für } k \leq n \text{ und } \varphi(k) \geq x \, , \\ x \text{ für } k = n+1 \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein und Mustafa Müller wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Wie viele Wichtelmöglichkeiten gibt es?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine Menge und es sei \maabbdisp {F} {M} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt, wenn der Durchschnitt des \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $F$ mit der \definitionsverweis {Diagonalen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle }
{ = }{ { \left\{ (x,x) \in M \times M \mid x \in M \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht leer ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Determinanten}{}{} aller $3\times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal $1$ und zweimal $0$ steht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $M$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (i),i} }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für eine $4 \times 4$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{,} bei der in jeder Diagonalen \zusatzklammer {Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen} {} {} höchstens eine $1$ steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{11} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller invertierbaren $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}

a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.

b) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass die Abbildung \maabbeledisp {} { M } { K^{\times} } { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } { ad-bc } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mittels der \definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ 9 & 8 & 7 \\1 & 2 & 3 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

Es sei
\mathl{(G,e,\circ)}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H }
{ \subseteq }{ G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Untergruppe}{} von $G$ wenn folgendes gilt. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g,h }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ h }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g^{-1} }
{ \in }{ H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}

\inputaufgabe
{}
{

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
\mathdisp {1,\,11,\, 21,\, 1211,\, 111221,\, 312211,\, ...} { }
zugrunde?

}
{} {(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Partition von $M$, d.h. jedes $M_i$ ist eine Teilmenge von $M$ und $M$ ist die disjunkte Vereinigung der $M_i$. Zeige, dass die Produktgruppe
\mathdisp {\prod_{i \in I} \operatorname{Perm} \, (M_i)} { }
eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\operatorname{Perm} \,(M)$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,} ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $\sigma$ ein \definitionsverweis {Zykel}{}{} der Ordnung $n$. Zeige, dass man $\sigma$ als Produkt von $n-1$ \definitionsverweis {Transpositionen}{}{} schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m }
{ \geq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wie viele injektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$ und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ nach $\{ 1 , \ldots , m \}$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme mittels der \definitionsverweis {Leibniz-Formel}{}{} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 3 & 1 \\ 6 & 8 & 2 \\7 & 5 & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.16 entspricht \zusatzklammer {die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen} {} {.} \aufzaehlungvier{Ist $f$ wachsend? }{Ist $f$ surjektiv? }{Ist $f$ injektiv? }{Besitzt $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{?} }

}
{} {}