Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 18
- Die Pausenaufgabe
Zeige, dass man jede endliche Permutation durch ein überschneidungsfreies Pfeildiagramm darstellen kann.
- Übungsaufgaben
Berechne für die Permutation mit
die Potenzen und . Bestimme die Zyklendarstellung für diese drei Permutationen an.
Betrachte die Permutation , die durch die Wertetabelle
gegeben ist.
- Man gebe die Zyklendarstellung von an und bestimme den Wirkungsbereich.
- Berechne und die Ordnung von .
- Bestimme die Fehlstände von und das Vorzeichen (Signum) von .
- Schreibe als Produkt von Transpositionen und bestimme erneut das Vorzeichen von .
Betrachte die beiden Permutationen
Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
gegebene Abbildung von
in sich selbst.
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Erstelle eine Wertetabelle für .
- Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
- Bestimme für jedes
das minimale
mit der Eigenschaft, dass
ist.
- Bestimme das minimale
mit der Eigenschaft, dass
für alle ist.
Zeige, dass durch die Zuordnung
mit
eine wohldefinierte bijektive Abbildung gegeben ist.
Gabi Hochster, Heinz Ngolo, Lucy Sonnenschein und Mustafa Müller wollen untereinander wichteln. Jede Person soll also genau von einer Person ein Geschenk bekommen, aber natürlich nicht von sich selbst. Wie viele Wichtelmöglichkeiten gibt es?
Es sei eine Menge und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann einen Fixpunkt besitzt, wenn der Durchschnitt des Graphen von mit der Diagonalen nicht leer ist.
Berechne die Determinanten aller -Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal und zweimal steht.
Es sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass
ist und alle anderen Einträge sind. Zeige, dass
ist.
a) Man gebe ein Beispiel für eine - Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine steht.
b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
ist.
Es sei ein Körper und sei
die Menge aller invertierbaren
-
Matrizen.
a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.
b) Zeige
(ohne Bezug zur Determinante),
dass die Abbildung
ein Gruppenhomomorphismus ist.
Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix
Es sei eine Gruppe. Eine Teilmenge heißt Untergruppe von wenn folgendes gilt.
- .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)
Es sei eine Menge und sei eine Partition von , d.h. jedes ist eine Teilmenge von und ist die disjunkte Vereinigung der . Zeige, dass die Produktgruppe
eine Untergruppe von ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass jede gerade Permutation , , ein Produkt aus Dreierzykeln ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Zykel der Ordnung . Zeige, dass man als Produkt von Transpositionen schreiben kann, aber nicht mit einer kleineren Anzahl von Transpositionen.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei . Wie viele injektive Abbildungen gibt es von nach und wie viele surjektive Abbildungen gibt es von nach ?
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme mittels der Leibniz-Formel die Determinante der Matrix
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.16 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
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