Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 4/latex

\setcounter{section}{4}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {2x+3y =7 \text{ und } 5x+4y = 3} { . }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x }
{ =} {5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die folgenden Körper $K$

a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}

b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}

c)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{\{0,1\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 3.8,

d)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \{0,1,2,3,4,5,6\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 3.9.

}
{} {}

Der Körper der komplexen Zahlen wird in der Analysis eingeführt \zusatzklammer {siehe auch den Anhang} {} {.} Eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} hat die Form
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} mit reellen Zahlen $a,b$. Bei der Multiplikation rechnet man ${ \mathrm i}\cdot { \mathrm i}=-1$. Die inverse komplexe Zahl zu
\mathl{a+b{ \mathrm i} \neq 0}{} ist
\mathl{{ \frac{ a }{ a^2+b^2 } } - { \frac{ b }{ a^2+b^2 } }{ \mathrm i}}{.}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} -4 x +6 y & = & 0 \\ 5 x +8 y & = & 0 \, \end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Gibt es eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c) }
{ \in }{ \Q^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 20\\5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus Beispiel 4.1?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie \mathkor {} {S} {und} {T} {} zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

Unter dem $i$-ten \stichwort {Standardvektor} {} der Länge $n$ versteht man den Vektor, der an der $i$-ten Stelle eine $1$ und sonst nur Nullen stehen hat.


\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {der Länge $n$} {} {} als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor \zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {} als Spaltenvektor aufgefasst wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 1- \frac{1}{2} { \mathrm i} & 4 { \mathrm i} \\ -5+7 { \mathrm i} & \sqrt{2} + { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5+4 { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} \\ \sqrt{2}- { \mathrm i} & e + \pi { \mathrm i} \\ 1 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\2-3 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen \zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {} durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1 }
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2 }
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3 }
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4 }
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5 }
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6 }
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7 }
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB }
{ =} {C }
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11} }
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12} }
{ =} { m_{3} + m_{5} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}

\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21} }
{ =} { m_{2} + m_{4} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22} }
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gelten.

}
{} {}

Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung \zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {} mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe \mathkor {} {DM} {und} {MD} {.}

}
{} {}

Die Hauptschwierigkeit in der folgenden Aufgabe liegt im Nachweis der Assoziativität für die Multiplikation \zusatzklammer {siehe Aufgabe 4.24} {} {} und des Distributivgesetzes.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller quadratischen $n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$ mit der Addition von Matrizen und mit der Verknüpfung von Matrizen als Multiplikation ein \definitionsverweis {Ring}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n,p }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Transponieren von Matrizen}{}{} folgende Eigenschaften besitzt \zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ A,B }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ C }
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times p } (K) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ s }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { ({ A^{ \text{tr} } } )^{ \text{tr} } } }
{ = }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A+B)^{ \text{tr} } } }
{ = }{ { A ^{ \text{tr} } } + { B^{ \text{tr} } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (s A) ^{ \text{tr} } } }
{ = }{ s \cdot { A^{ \text{tr} } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { (A \circ C)^{ \text{tr} } } }
{ = }{ { C^{ \text{tr} } } \circ { A ^{ \text{tr} } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus Beispiel 3.9.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-2 { \mathrm i} & 1+5 { \mathrm i} & 0 \\ 7 { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} & 4- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-2 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 2+3 { \mathrm i} \\ 5-7 { \mathrm i} & 2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die vierte \definitionsverweis {Potenz}{}{} von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4 }
{ =} { MMMM }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.


\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist. Genauer: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,} $B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C }
{ = }{ A(BC) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde und beweise eine Formel für die $n$-te \definitionsverweis {Potenz}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}