Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Definitionsabfrage
Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist.
Zu Mengen und heißt
der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.
Zu zwei Mengen und heißt
die Vereinigung der beiden Mengen.
Zu Mengen nennt man
die Differenzmenge „ ohne “.
Zu einer Teilmenge in einer Menge heißt
das Komplement von (in ).
Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt ist.
Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen
Die Menge heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.
Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der .
Es seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit
gibt.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .
Es seien und Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann nennt man
den Graphen der Abbildung .
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Bild von unter . Für heißt
das Bild der Abbildung.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Urbild von unter . Für eine einelementige Teilmenge heißt
das Urbild von .
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit gilt.
Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung
und einem neutralen Element gegeben. Dann heißt zu einem Element ein Element inverses Element (zu ). wenn die Gleichheit
gilt.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Distributivgesetz: Für alle gilt und .
Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
- Distributivgesetz: Für alle gilt .
Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man
ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Wenn beliebig ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper und und Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung
Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die - Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine - Matrix der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die -Matrix
die transponierte Matrix zu .
Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Es sei ein Körper und eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen
und
Dann nennt man einen -Vektorraum (oder einen Vektorraum über ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig)
- ,
- ,
- ,
- Zu jedem gibt es ein mit ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein Körper und . Dann nennt man zu den Vektor
wobei an der -ten Stelle steht, den -ten Standardvektor.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Mit ist auch .
- Mit und ist auch .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ).
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie , , ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als
mit einer endlichen Teilfamilie und mit darstellen kann.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu einer Familie , , setzt man
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle möglich ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle möglich ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von die Dimension von , geschrieben
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum der Dimension . Es seien und zwei Basen von . Es sei
mit den Koeffizienten . Dann nennt man die - Matrix
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von nach .
Zu einem - Vektorraum und einer Familie von Untervektorräumen definiert man die Summe dieser Untervektorräume durch
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Untervektorräumen von . Man sagt, dass die direkte Summe der ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Jeder Vektor
besitzt eine Darstellung
mit .
- für alle .
Es sei eine Menge und zu jedem sei eine Menge gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der .
Es sei eine Menge und ein Körper. Zu jedem sei ein - Vektorraum gegeben. Dann nennt man die Menge
die direkte Summe der .
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .
Zu einer linearen Abbildung
heißt die - Matrix
wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.
Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .
Zu einer Matrix heißt die durch
gemäß Satz 10.10 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine bijektive, lineare Abbildung
heißt Isomorphismus.
Es sei ein Körper. Zwei - Vektorräume und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von nach gibt.
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Zwei quadratische Matrizen heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix mit gibt.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit
gibt.
Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit .
- Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt Projektion von auf , wenn und ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt Projektion, wenn
gilt.
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann nennt man
den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
definiert wird.
Es sei ein Körper und sei ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt eine Linearform auf .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum
der Dualraum zu .
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit einer Basis . Dann nennt man die Linearformen
die durch
festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt
die Spur von .
Es sei ein Körper und sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man die Spur von , geschrieben .
Zu einem Untervektorraum in einem - Vektorraum nennt man
den Orthogonalraum zu .
Es sei ein - Vektorraum und ein Untervektorraum im Dualraum zu . Dann nennt man
den Orthogonalraum zu .
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die duale Abbildung zu .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann nennt man den Dualraum des Dualraums , also
das Bidual von .
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
Es sei ein Körper und seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
heißt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel mit die induzierte Abbildung
- linear ist.
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und sei . Eine multilineare Abbildung
heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist
Es sei ein - dimensionaler Vektorraum über einem Körper . Eine Abbildung
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist multilinear.
- ist alternierend.
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
Zu einer quadratischen Matrix heißt
wobei die Streichungsmatrix zur -ten Zeile und zur -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von .
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Zu einer Menge nennt man die Menge
der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .
Es sei eine endliche Menge und eine Permutation auf . Man nennt einen Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht. Wenn ist, so schreibt man einfach
Eine Transposition auf einer endlichen Menge ist eine Permutation auf , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
Es sei und sei eine Permutation auf . Dann heißt die Zahl
das Signum (oder das Vorzeichen) der Permutation .
Es seien und Gruppen. Eine Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen
mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Es sei ein Körper. Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
Zu einer Familie von Elementen in einem kommutativen Ring bezeichnet das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
wobei sind.
Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form
heißt Hauptideal.
Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring ist der Ring selbst.
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt das eindeutig bestimmte normierte Polynom minimalen Grades mit
das Minimalpolynom von .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element , , ein Eigenvektor von (zum Eigenwert ), wenn
mit einem gilt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Element ein Eigenwert zu , wenn es einen von verschiedenen Vektor mit
gibt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zu nennt man
den Eigenraum von zum Wert .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu heißt die lineare Abbildung
die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Unter dem Fixraum zu versteht man den Eigenraum zum Eigenwert , also die Menge .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn eine Basis aus Eigenvektoren zu besitzt.
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Zu nennt man
die geometrische Vielfachheit von .
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum -invariant, wenn
gilt.
Zu einer - Matrix mit Einträgen in einem Körper heißt das Polynom
das charakteristische Polynom von .
Es sei
eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum und . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms im charakteristischen Polynom die algebraische Vielfachheit von . Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum der Dimension Dann heißt eine Kette von Untervektorräumen
eine Fahne in .
Es sei ein Vektorraum der Dimension und
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
heißt -invariant, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom teilt, wenn es ein Polynom mit
gibt.
Es seien Polynome über einem Körper . Man sagt, dass ein Polynom ein gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn jedes teilt.
Es seien Polynome über einem Körper . Man sagt, dass ein Polynom ein größter gemeinsamer Teiler der gegebenen Polynome ist, wenn ein gemeinsamer Teiler der ist und wenn unter allen gemeinsamen Teilern der maximalen Grad besitzt.
Polynome über einem Körper heißen teilerfremd, wenn sie außer den Konstanten keine gemeinsamen Teiler besitzen.
Zu einer linearen Abbildung auf einem - Vektorraum und einem Eigenwert nennt man
den Hauptraum zu zu diesem Eigenwert.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine lineare Abbildung
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te Hintereinanderschaltung
ist.
Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass das -te Matrixprodukt
ist.
Es sei ein Körper und . Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ) versteht man eine quadratische Matrix der Form
Eine quadratische Matrix der Form
wobei die Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.
Es sei ein Vektorraum. Unter einem affinen Unterraum von versteht man (die leere Menge oder) eine Teilmenge der Form
wobei ein Untervektorraum und ein Vektor ist.
Ein affiner Raum über einem - Vektorraum ist eine Menge zusammen mit einer Abbildung
die den drei Bedingungen
- für alle ,
- für alle und ,
- Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,
genügt.
Eine Familie von Punkten , , in einem affinen Raum über einem - Vektorraum heißt eine affine Basis von , wenn zu einem die Vektorfamilie
eine Basis von ist.
Zu einer Familie , , von Punkten in einem affinen Raum und einem Zahltupel , , mit
(bei unendlichem ist dies so zu verstehen, dass nur endlich viele der von verschieden sein können) heißt die Summe baryzentrische Kombination der . Der zugehörige Punkt in ist durch
gegeben, wobei ein beliebiger Punkt aus ist.
Es sei , , eine affine Basis in einem affinen Raum über dem - Vektorraum . Dann nennt man die zu einem Punkt eindeutig bestimmten Zahlen
mit
die baryzentrischen Koordinaten von .
Es sei ein affiner Raum mit einer affinen Basis
Dann nennt man die Dimension von .
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum . Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn ( leer ist)
ist, mit einem Punkt und einem - Untervektorraum .
Es sei ein affiner Raum über dem - Vektorraum und sei ein affiner Unterraum. Eine Familie von Punkten , , heißt affines Erzeugendensystem von , wenn der kleinste affine Unterraum von ist, der alle Punkte umfasst.
Es sei ein affiner Raum über einem - Vektorraum und es sei
eine endliche Familie von Punkten aus . Man nennt die Punktfamilie affin-unabhängig, wenn eine Gleichheit
mit
nur bei
für alle möglich ist.
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den Vektorräumen bzw. . Eine Abbildung
heißt affin (oder affin-lineare Abbildung), wenn es eine lineare Abbildung
mit
für alle und gibt.
Es sei ein Körper und seien und affine Räume über den - Vektorräumen bzw. . Eine bijektive affine Abbildung
heißt affiner Isomorphismus.