Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Definitionsabfrage
Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
Mengen. Man sagt, dass
eine Teilmenge von
ist, wenn jedes Element von
auch ein Element von
ist.
Zu Mengen
und
heißt
der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.
Zu zwei Mengen
und
heißt
die Vereinigung der beiden Mengen.
Zu Mengen nennt man
die Differenzmenge „ ohne
“.
Zu einer
Teilmenge
in einer Menge
heißt
das Komplement von
(in
).
Zwei Mengen
und
heißen disjunkt, wenn ihr
Durchschnitt
ist.
Es seien zwei Mengen
und
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von
die Potenzmenge von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei eine Menge und zu jedem
sei eine Menge
gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen
Es sei eine Menge und zu jedem
sei eine Menge
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der .
Seien
und
Mengen. Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird. Das zu
eindeutig bestimmte Element wird mit
bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt bijektiv, wenn
sowohl
injektiv
als auch
surjektiv
ist.
Es sei
eine
bijektive Abbildung.
Dann heißt die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, die Umkehrabbildung zu
.
Es seien
und
Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Bild von unter
. Für
heißt
das Bild der Abbildung.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung. Zu einer Teilmenge heißt
das Urbild von unter
. Für eine einelementige Teilmenge
heißt
das Urbild von .
Eine Verknüpfung auf einer Menge
ist eine
Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element
neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
und einem
neutralen Element
gegeben. Dann heißt zu einem Element
ein Element
inverses Element, wenn die Gleichheit
gilt.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
-
- Das Element
ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
-
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
-
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und
(nicht notwendigerweise verschiedene)
Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
und
.
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
Es sei ein Körper und
für
und
.
Dann nennt man
ein
(homogenes)
lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel
heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Wenn beliebig
ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel
heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Es sei ein Körper und
und
zwei Indexmengen. Eine
-Matrix ist eine
Abbildung
Bei
und
spricht man von einer
-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
Es sei ein Körper und es sei
eine
-Matrix
und
eine
-Matrix über
. Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die
-Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine
-Matrix
der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Dann nennt man die
-Matrix
die transponierte Matrix zu .
Es sei ein Körper und seien zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Es sei ein
Körper
und
eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit zwei Abbildungen
und
Dann nennt man einen
-Vektorraum
(oder einen Vektorraum über
),
wenn die folgenden Axiome erfüllt sind
(dabei seien
und
beliebig)
,
,
,
- Zu jedem
gibt es ein
mit
,
,
,
,
.
Es sei ein Körper und
. Dann nennt man zu
den Vektor
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Eine Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Es sei
eine Familie von Vektoren in
. Dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren
(zum Koeffiziententupel ).
Es sei ein Körper und
ein
-Vektorraum. Dann heißt eine Familie
,
,
ein Erzeugendensystem von
, wenn man jeden Vektor
als
mit einer endlichen Teilfamilie
und mit
darstellen kann.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Zu einer Familie
,
,
setzt man
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Es sei ein Körper und
ein
-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren
,
,
(mit einer beliebigen endlichen Indexmenge
)
linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei
für alle
möglich ist.
Es sei ein Körper und
ein
-Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren
,
,
linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle
möglich ist.
Es sei ein Körper und
ein
-Vektorraum. Dann heißt ein
linear unabhängiges
Erzeugendensystem
,
,
von
eine Basis von
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum mit einem endlichen
Erzeugendensystem.
Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer
Basis
von
die Dimension von
, geschrieben
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum der
Dimension
. Es seien
und
zwei
Basen
von
. Es sei
mit den Koeffizienten . Dann nennt man die
-Matrix
die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von nach
.
Zu einem
-Vektorraum
und einer Familie
von
Untervektorräumen
definiert man die
Summe dieser Untervektorräume
durch
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Es sei
eine Familie von
Untervektorräumen
von
. Man sagt, dass
die direkte Summe der
ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- Jeder Vektor
besitzt eine Darstellung
mit
.
-
für alle
.
Es sei eine Menge und zu jedem
sei eine Menge
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der .
Es sei eine Menge und
ein
Körper.
Zu jedem
sei ein
-Vektorraum
gegeben. Dann nennt man die Menge
die direkte Summe der .
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
.
Eine
Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
für alle
.
für alle
und
.
Es sei ein Körper und sei
ein
-dimensionaler
Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Zu einer linearen Abbildung
heißt die
-Matrix
wobei die
-te
Koordinate
von
bezüglich der Basis
ist, die beschreibende Matrix zu
bezüglich der Basen.
Es sei ein Körper und sei
ein
-dimensionaler
Vektorraum
mit einer
Basis
und sei
ein
-dimensionaler Vektorraum mit einer Basis
.
Zu einer Matrix heißt die durch
gemäß
Satz 10.10
definierte lineare Abbildung die durch
festgelegte lineare Abbildung.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Eine
bijektive,
lineare Abbildung
heißt Isomorphismus.
Es sei ein Körper. Zwei
-Vektorräume
und
heißen isomorph, wenn es einen
Isomorphismus
von
nach
gibt.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-Vektorräume
und
sei eine
-lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Es sei ein
Körper,
und
seien
-Vektorräume
und
sei eine
-lineare Abbildung und
sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Zwei quadratische Matrizen heißen
ähnlich,
wenn es eine
invertierbare Matrix
mit
gibt.
Es sei ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Dann heißt
invertierbar, wenn es eine weitere Matrix
mit
gibt.
Es sei ein Körper. Zu einer
invertierbaren Matrix
heißt die Matrix
mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Es sei ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an
elementare Zeilenumformungen.
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit
.
- Addition des
-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Es sei ein Körper. Mit
bezeichnen wir diejenige
-Matrix,
die an der Stelle
den Wert
und sonst überall den Wert
hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
.
.
.
Es sei ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Dann nennt man die
Dimension
des von den Spalten
erzeugten Untervektorraums
von
den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
ein
Untervektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt
Projektion
von auf
, wenn
und
ist.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt Projektion, wenn
gilt.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über
. Dann nennt man
den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch
definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch
definiert wird.
Sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum.
Dann heißt der
Homomorphismenraum
der Dualraum zu .
Es sei ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum
mit einer
Basis
. Dann nennt man die
Linearformen
die durch
festgelegt sind, die Dualbasis zur gegebenen Basis.
Es sei ein Körper und sei
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung,
die bezüglich einer
Basis
durch die
Matrix
beschrieben werde. Dann nennt man
die
Spur
von
, geschrieben
.
Zu einem Untervektorraum
in einem
-Vektorraum
nennt man
den
Orthogonalraum
zu .
Es sei ein
-Vektorraum
und
ein
Untervektorraum
im
Dualraum
zu
. Dann nennt man
den
Orthogonalraum
zu .
Es sei ein
Körper,
und
seien
-Vektorräume
und
sei eine
-lineare Abbildung. Dann heißt die
Abbildung
die duale Abbildung zu .
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Dann nennt man den
Dualraum
des Dualraums
, also
das Bidual von .
Es sei ein Körper und sei
eine
-Matrix
über
. Zu
sei
diejenige
-Matrix, die entsteht, wenn man in
die erste Spalte und die
-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von
durch
Es sei ein Körper und seien
und
Vektorräume
über
. Eine
Abbildung
heißt multilinear, wenn für jedes und jedes
-Tupel
mit
die induzierte Abbildung
-linear
ist.
Es sei ein
Körper,
und
seien
-Vektorräume
und sei
.
Eine
multilineare Abbildung
heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in
zwei Einträge übereinstimmen, also
für ein Paar
,
so ist
Es sei ein
-dimensionaler
Vektorraum
über einem
Körper
. Eine
Abbildung
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
ist multilinear.
ist alternierend.
Es sei ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum.
Es sei
eine
lineare Abbildung, die bezüglich einer
Basis
durch die
Matrix
beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
Zu einer
quadratischen Matrix
heißt
wobei die Streichungsmatrix zur
-ten Zeile und zur
-ten Spalte ist, die adjungierte Matrix von
.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von
(sprich
Fakultät).
Zu einer Menge nennt man die Menge
der bijektiven Selbstabbildungen die Automorphismengruppe oder die Permutationsgruppe zu .
Sei eine endliche Menge und
eine
Permutation
auf
. Man nennt
einen Zykel der Ordnung
, wenn es eine
-elementige Teilmenge
derart gibt, dass
auf
die Identität ist und
die Elemente aus
zyklisch vertauscht. Wenn
ist, so schreibt man einfach
Eine Transposition auf einer endlichen Menge ist eine
Permutation
auf
, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
Sei
und sei
eine
Permutation
auf
. Dann heißt die Zahl
das Signum
(oder das Vorzeichen)
der Permutation .
Seien
und
Gruppen.
Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle
gilt.
Der Polynomring über einem
Körper
besteht aus allen Polynomen
mit ,
, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist
.
Zu zwei
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
wobei das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Eine Teilmenge eines
kommutativen Ringes
heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
-
.
- Für alle
ist auch
.
- Für alle
und
ist auch
.
Zu einer Familie von Elementen
in einem
kommutativen Ring
bezeichnet
das von diesen Elementen erzeugte Ideal. Es besteht aus allen Linearkombinationen
wobei sind.
Das
Einheitsideal
in einem
kommutativen Ring
ist der Ring selbst.
Sei ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung.
Dann heißt das eindeutig bestimmte
normierte
Polynom
minimalen
Grades
mit
das
Minimalpolynom
von .
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein Element
,
,
ein Eigenvektor von
(zum
Eigenwert
),
wenn
mit einem
gilt.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein Element
ein Eigenwert zu
, wenn es einen von
verschiedenen Vektor
mit
gibt.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Zu
nennt man
den Eigenraum von zum Wert
.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Zu
heißt die
lineare Abbildung
die Streckung
(oder Homothetie)
zum Streckungsfaktor .
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Unter dem
Fixraum
zu versteht man den
Eigenraum
zum
Eigenwert
, also die Menge
.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt diagonalisierbar, wenn
eine
Basis
aus
Eigenvektoren
zu
besitzt.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Zu einem
Eigenwert
nennt man
die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
Es sei ein
Körper,
ein
-Vektorraum
und
eine
lineare Abbildung. Dann heißt ein
Untervektorraum
-invariant,
wenn
gilt.
Zu einer
-Matrix
mit Einträgen in einem
Körper
heißt das
Polynom
das charakteristische Polynom
von .
Es sei
eine
lineare Abbildung
auf einem
endlichdimensionalen
-Vektorraum
und
. Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms
im
charakteristischen Polynom
die
algebraische Vielfachheit
von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt
trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.
Es sei ein
Körper
und
ein
endlichdimensionaler
-Vektorraum der Dimension
. Dann heißt eine Kette von
Untervektorräumen
eine Fahne in .
Sei ein
Vektorraum
der
Dimension
und
eine lineare Abbildung. Eine Fahne
heißt
-invariant ,
wenn
für alle
ist.
Es seien
Polynome
über einem
Körper
. Man sagt, dass ein Polynom
ein
gemeinsamer Teiler
der gegebenen Polynome ist, wenn
jedes
teilt.
Es seien
Polynome
über einem
Körper
. Man sagt, dass ein Polynom
ein
größter gemeinsamer Teiler
der gegebenen Polynome ist, wenn
ein
gemeinsamer Teiler
der
ist und wenn
unter allen gemeinsamen Teilern der
maximalen
Grad
besitzt.
Polynome über einem
Körper
heißen
teilerfremd,
wenn sie außer den Konstanten
keine
gemeinsamen Teiler
besitzen.
Zu einer
linearen Abbildung
auf einem
-Vektorraum
und einem
Eigenwert
nennt man
den
Hauptraum
zu zu diesem Eigenwert.
Es sei ein
Körper
und
ein
-Vektorraum. Eine
lineare Abbildung
heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die
-te
Hintereinanderschaltung
ist.
Eine
quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl
derart gibt, dass das
-te
Matrixprodukt
ist.