Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex

\setcounter{section}{38}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle 0 , v \right\rangle }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{v \in V}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen \maabbdisp {} {\R^2 \times \R^2} {\R } {} \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} sind. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w) }
{ =} { \Vert { v} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w) }
{ =} { \Vert { v- w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w) }
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Psi(v,w) }
{ =} { \angle ( v, w) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} eine \definitionsverweis {nicht-ausgeartete}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x+3y-4z } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme den Vektor
\mathl{u \in \R^3}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle u , v \right\rangle = L(v) \text { für alle } v \in \R^3} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} bezeichnet. } {Es sei
\mathdisp {E= { \left\{ (x,y,z) \mid 3x-2y-5z = 0 \right\} } \subset \R^3} { }
und es sei
\mathl{\varphi=L {{|}}_E}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor
\mathl{w \in E}{} mit der Eigenschaft
\mathdisp {\left\langle w , v \right\rangle = \varphi (v) \text { für alle } v \in E} { , }
wobei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{,} der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {Linearform}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der zugehörige Gradient im Sinne von Korollar 38.6. Zeige, dass der Gradient
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zur Einschränkung
\mathl{f {{|}}_U}{} die \definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{} von $v$ auf $U$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -5 \\1 \end{pmatrix}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zur \definitionsverweis {Determinante}{}{} auf dem $K^2$ bezüglich der \definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass diese Form genau dann \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} von ihr bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} in der Dimension zwei, also die Abbildung \maabbeledisp {} {K^2 \times K^2} {K } {( \begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} )} { x_1y_2 -x_2y_1 } {,} keine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von $V$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann \definitionsverweis {nicht ausgeartet}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Bilinearform bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer von $2$ verschiedenen \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v , v \right\rangle - \left\langle w , w \right\rangle \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer von $2$ verschiedenen \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} und sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } { \left( \left\langle v+w , v+w \right\rangle - \left\langle v-w , v-w \right\rangle \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die \definitionsverweis {Nullform}{}{} ist, für die aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , v \right\rangle }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{v \in V}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass $V$ eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen \maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R } {} bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch. \aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1y_1}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1x_2+y_1y_2}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):=2x_1y_2 + 3x_2y_1}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Zeige, dass die Summe von \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} \mathkor {} {\Psi_1} {und} {\Psi_2} {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ einen $K$-Vektorraum bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , { V }^{ * } \right) } } { \operatorname{Bilin}_{ } { \left( V \right) } } {} gibt.

}
{} {}

Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.

Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$, auf denen jeweils eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} \mathkor {} {\Phi_V} {bzw.} {\Phi_W} {} gegeben sei. Man nennt eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {f} { V} {W } {} eine \definitionswort {Isometrie}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_W(f(u),f(v)) }
{ =} { \Phi_V(u,v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{u,v \in V}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $U,V$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ mit \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} \mathkor {} {\Phi_U} {und} {\Phi_V} {} und sei \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} Ist $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $U,V,W$ \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$ mit mit \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{}
\mathl{\Phi_U,\Phi_V,\Phi_W}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die \definitionsverweis {Identität}{}{} \maabb {} {V} {V } {} ist eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{.} }{Wenn \maabb {\varphi} {U} {V } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} Isometrie ist, so ist auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} $\varphi^{-1}$ eine Isometrie. }{Wenn \maabb {\varphi} {U} {V } {} und \maabb {\psi} {V} {W } {} Isometrien sind, so ist auch die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{\psi \circ \varphi}{} eine Isometrie. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} $\Phi$. Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Isometrien}{}{} auf $V$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein $\Complex$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es seien \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} und \maabbdisp {\psi} {V} {V } {} \definitionsverweis {antilineare}{}{} Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {hermitesche Form}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{} $V$ die Werte
\mathl{\left\langle v , v \right\rangle}{} zu
\mathl{v \in V}{} stets reell sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vek\-torraum}{}{} $V$ genau dann \definitionsverweis {hermitesch}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} der Form bezüglich einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ \definitionsverweis {hermitesch}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen \maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R } {} \definitionsverweis {bilinear}{}{} sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften \definitionsverweis {alternierend}{}{} und \definitionsverweis {symmetrisch}{}{.} \aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1-y_1}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1y_1-x_2y_2}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):= 2x_1y_2-2x_2y_1}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} dessen \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} nicht $2$ sei. Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$, die sowohl \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} als auch \definitionsverweis {alternierend}{}{} sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{} zu einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ gleich dem \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * } } {v} { \left\langle v , - \right\rangle } {,} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Linearform}{}{} \maabbeledisp {L} {\R^2} {\R } {(x,y)} {4x+7y } {.} \aufzaehlungdrei{Bestimme den \definitionsverweis {Linksgradienten}{}{} von $L$ bezüglich der \definitionsverweis {Determinante}{}{.} }{Bestimme den \definitionsverweis {Rechtsgradienten}{}{} von $L$ bezüglich der Determinante. }{Bestimme den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} von $L$ bezüglich des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearformen}{}{} auf $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ =} { n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Bildet die Menge der \definitionsverweis {Skalarprodukte}{}{} auf $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} des Raumes aller \definitionsverweis {Bilinearformen}{}{} auf $V$?

}
{} {}