Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 37

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}E,F$ affine Räume und

$\varphi \colon E\longrightarrow F$

eine affin-lineare Abbildung. Zeige, dass der Schwerpunkt der Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt der Bildpunkte ${}\varphi (P_{1}),\ldots ,\varphi (P_{n})$ überführt wird.

Aufgabe

Zeige, dass ein Dreieck genau dann gleichseitig ist, wenn der Schwerpunkt mit dem Umkreismittelpunkt übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige, dass es kein nichtausgeartetes gleichseitiges Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Aufgabe

Zeige, dass das Seitenmittelpunktsdreieck eines Dreiecks ähnlich zum Ausgangsdreieck ist.

Aufgabe

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(-1,3),(0,-5),(2,1)$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Seitenhalbierenden. Bestimme den Schwerpunkt auf unterschiedliche Arten.

Aufgabe

Bestimme für das durch die Standardvektoren ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegebene Dreieck die Seitenhalbierenden und den Schwerpunkt.

Aufgabe *

Es seien ${}A,B$ verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu ${}A$ und ${}B$ aus allen Punkten besteht, die zu ${}A$ und ${}B$ den gleichen Abstand haben.

Aufgabe

Es sei ${}D$ ein nichtausgeartetes Dreieck. Zeige, dass je zwei Mittelsenkrechten linear unabhängig sind.

Aufgabe

Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(-2,2),(0,4),(5,0)$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ die Mittelsenkrechten, den Umkreismittelpunkt und den Radius des Umkreises.

Aufgabe

Im ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei ein nichtausgeartetes Dreieck gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

haben. Es sei

${}d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))\,.$

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt des Dreiecks die Koordinaten

${}x={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}\,$

und

${}y={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}\,$

besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe

Es seien ${}v,w$ linear unabhängige Vektoren in ${}\mathbb {R} ^{2}$. Zeige, dass die Winkelhalbierende zu ${}v$ und ${}w$ mit ${}v$ bzw. ${}w$ den gleichen Winkel bildet.

Aufgabe

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe

Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei Höhenfußpunkte außerhalb der Dreiecksseiten liegen.

Aufgabe

Zeige, dass in einem nichtausgearteten Dreieck mindestens ein Höhenfußpunkt zwischen den Eckpunkten liegt.

Aufgabe

Es sei ${}D$ ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln im Punkt ${}A$ und der gegenüberliegenden Seite ${}a$. Zeige, dass die Seitenhalbierende durch ${}A$, die Winkelhalbierende durch ${}A$, die Höhe durch ${}A$ und die Mittelsenkrechte zu ${}a$ übereinstimmen.

In den folgenden Aufgaben setze man einen naiven Flächeninhaltsbegriff voraus. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen und für den Flächeninhalt gilt die Zerlegungseigenschaft (oder Zerschneidungseigenschaft) und die Verschiebungsinvarianz.

Aufgabe

Begründe, dass bei einem Parallelogramm der Flächeninhalt gleich der Grundseite mal Höhe ist.

Aufgabe

Begründe, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich ${}{\frac {1}{2}}$ „Grundseite mal Höhe“ ist (gemeint ist ${}{\frac {1}{2}}$ Grundseitenlänge mal Höhenlänge).

Aufgabe

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines nichtausgearteten Dreiecks ${}(A,B,C)$ in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.

Aufgabe *

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem nichtausgearteten Dreieck die Gleichheiten

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\,$

gelten, wobei ${}a,b,c$ die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ sind.

Aufgabe *

Durch die Punkte ${}A,B,C$ sei ein Dreieck mit den Seitenlängen ${}a,b,c$ und den Winkeln ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ gegeben. Es sei ${}F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige

${}{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {abc}{2F}}\,.$

In der folgenden Aufgabe wird die (eine Variante der) Heronsche Formel bewiesen.

Aufgabe *

Es seien ${}a,b,c$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

${}F={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}D$ ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten ${}A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe *

Ein Dreieck soll die Grundseite ${}[0,s]$ und die Höhe ${}h$ besitzen ($s,h>0$). Für welchen Höhenfußpunkt ${}x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?

Aufgabe

Wir fassen die Menge aller (auch entarteter, geordneter) Dreiecke ${}\triangle =(A,B,C)$ im ${}\mathbb {R} ^{2}$ über ihre Koordinaten ${}A=(A_{1},A_{2}),B=(B_{1},B_{2}),C=(C_{1},C_{2})$ als den Vektorraum ${}\mathbb {R} ^{6}$ auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar ${}s\in \mathbb {R}$ multiplizieren.

a) Zeige, dass die Dreiecke ${}\triangle$ und ${}s\triangle$ mit ${}\triangle$ nichtausgeartet und ${}s\neq 0$ zueinander ähnlich sind.

b) Es sei ${}S$ der Schwerpunkt des Dreiecks ${}(A,B,C)$. Zeige, dass die Dreiecke

$(A,B,C),\,(B,C,A),\,(C,A,B){\text{ und }}(S,S,S)$

linear abhängig sind.

c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken Untervektorräume des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension.

1. Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke.
2. Die Menge aller Dreiecke mit ${}0$ als erstem Eckpunkt.
3. Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt ${}0$.
4. Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke.
5. Die Menge aller Dreiecke, deren Umkreis der Einheitskreis ist.
6. Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke.
7. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke.
8. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in ${}0$ befindet und deren zweiter Punkt auf der ${}x$-Achse liegt.
9. Die Menge aller Dreiecke mit Höhenschnittpunkt in ${}0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Dreieck ${}(0,0),(3,0),(0,4)$ den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das Dreieck ${}(2,3),(1,8),(6,-5)$ die eulersche Gerade.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das Dreieck ${}(4,-3),(7,2),(-1,5)$ den Mittelpunkt und den Radius des Feuerbachkreises.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für das durch die Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}}$

gegebene Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die Höhe durch ${}{\begin{pmatrix}2\\5\\6\end{pmatrix}}$ und den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte den Vektorraum aller Dreiecke im ${}\mathbb {R} ^{2}$ aus Aufgabe 37.28. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine Linearform?

In der folgenden Aufgabe wird auf die Konvergenz von Folgen im ${}\mathbb {R} ^{2}$ Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in ${}\mathbb {R}$ konvergieren.

Aufgabe (6 Punkte)

Zu einem Dreieck ${}\triangle =(A,B,C)$ ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte ${}{\frac {1}{2}}(A+B),{\frac {1}{2}}(A+C),{\frac {1}{2}}(B+C)$ gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken ${}\triangle _{n}$, wobei ${}\triangle _{1}=\triangle$ und ${}\triangle _{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu ${}\triangle _{n}$ ist. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit ${}x_{n}\in \triangle _{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.